Questão 2. A equação que descreve juros compostos é definida por uma função exponencial. Sendo r a taxa de capitalização em h unidades de tempo (dias, meses, etc.), o fator de capitalização será a=1+r. A quantidade P de capital depoís de t unidades de tempo (a mesma de h ), sendo P_{0} a quantidade inicial, será
P=P_{0} a^{\frac{1}{\hbar}}
Considerando um empréstimo de \mathrm{R} \$2.500,00 a uma taxa mensal de 6.2 %, determine quanto deverá ser pago depois de 1 mês e 20 dias e quando este empréstimo alcançará o valor de R$3.200, 00 .

Passo 1

O enunciado trata de juros compostos, cuja lei é uma função exponencial. Temos:
  • Capital inicial \,P_{0}=2500 R$,
  • Taxa mensal r=6,2\%, ou seja r=0,062 - Fator de capitalização mensal
a = 1 + r = 1 + 0,062 = 1,062.
A fórmula geral, para um intervalo de tempo t (em meses, já que a taxa é mensal), é
P(t) = P_{0}\,a^{t}.
Queremos (a) o valor após 1 mês e 20 dias, e (b) o tempo t para que P(t)=3200 R$.

Passo 2

Para (a), convertemos 20 dias em fração de mês. Assumindo mês de 30 dias:
t = 1 + \frac{20}{30} = 1 + \tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}\,\text{meses}.
Aplicamos a fórmula:
P\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) =2500 \times 1,062^{5/3}.
Calculemos:
\ln\bigl(1,062^{5/3}\bigr) =\tfrac{5}{3}\,\ln(1,062) \approx 1,6667\times 0,06019 \approx 0,1003,
1,062^{5/3} =\exp(0,1003)\approx 1,1055,
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P\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) \approx 2500\times 1,1055 \approx 2763{,}9\\ \text{R\$}.

Passo 3

Para (b), achamos t tal que
2500 \,a^{t} = 3200 \quad\Longrightarrow\quad a^{t} = \frac{3200}{2500} = 1,28.
Tomando logaritmo natural:
t \,\ln(1,062) = \ln(1{,}28) \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln(1{,}28)}{\ln(1{,}062)}.
Numericamente:
\ln(1{,}28)\approx 0,2460, \quad \ln(1{,}062)\approx 0,06019,
t \approx \frac{0,2460}{0,06019}\approx 4,088\\ \text{meses}.
Em meses e dias (30 dias/mês):
0{,}088\times 30 \approx 2{,}64\\ \text{dias},
isto é, cerca de 4 meses e 3 dias.

Resposta

O valor a pagar após 1 mês e 20 dias é aproximadamente R$ 2763,90.
O empréstimo alcança R$ 3200,00 em cerca de 4,09 meses (aprox. 4 meses e 3 dias).

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