A diagonal da base de um paralelepípedo reto retângulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60^circ com o lado menor da base. Sabe-se que o volume deste paralelepípedo é 144 cm^3. Determine a medida da altura desse paralelepípedo.

Passo 1

O enunciado descreve um paralelepípedo reto retângulo cuja base é um retângulo de lados a (o menor) e b, com diagonal da base medindo 8,cm. Essa diagonal forma um ângulo de 60^circ com o lado a. O volume é dado por V = a b h = 144,cm ^3. Para achar a altura h vamos usar trigonometria (relação de cosseno entre lados e diagonal) e o teorema de Pitágoras na base.

Passo 2

Denotando por d a diagonal da base, temos
d = raiza^2 + b^2 = 8
O cosseno do ângulo entre o vetor lado a e o vetor diagonal (a,b) é
cos 60^circ = ad
Como cos 60^circ = tfrac12 e d=8, segue
a = d cos 60^circ = 8 cdot tfrac12 = 4 cm

Passo 3

Aplicando Pitágoras na base para determinar b:
b^2 = d^2 - a^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48,
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b = raiz48 = 4raiz3 cm

Passo 4

Usamos a fórmula do volume
V = a,b,h = 144
Substituindo a=4 e b=4raiz3,
4cdot 4raiz3,h = 144 Longrightarrow 16raiz3,h = 144 Longrightarrow h = 14416raiz3 = 9raiz3 = 3raiz3 cm

Resposta

A altura do paralelepípedo é 3raiz3,cm.

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