Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^prime prime-2 y^prime+3 y=x^3+sen x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 3y = x^3 + sin x
O método será escrever a solução geral como
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh resolve a parte homogênea y''-2y'+3y=0 e yp é uma particular para o lado direito x^3+sin x.

Passo 2

Para achar yh montamos a equação característica
lambda^2 - 2lambda + 3 = 0
As raízes são
lambda = 2 pm raiz4 - 122 = 1 pm iraiz2
Logo
yh(x) = e^xl(C1cos(raiz2,x)+C2sin(raiz2,x)r)

Passo 3

Buscamos yp1 para a parte polinomial x^3. Seja
yp1(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D
Calculamos
yp1'' - 2yp1' + 3yp1 = 3A x^3 + (-6A + 3B)x^2 + (6A - 4B + 3C)x + (2B - 2C + 3D)
Igualando a x^3 (isto é, forçando os coeficientes de x^k coincidirem com 1cdot x^3+0x^2+0x+0) obtemos o sistema
3A = 1, -6A + 3B = 0, 6A - 4B + 3C = 0, 2B - 2C + 3D = 0
Resolvendo,
A = tfrac13, B = tfrac23, C = tfrac29, D = -tfrac827
Portanto
yp1(x) = 13x^3 + 23x^2 + 29x - 827

Passo 4

Agora yp2 para sin x. Seja
yp2(x)=Ecos x + Fsin x
Então
yp2'' - 2yp2' + 3yp2 = (2E - 2F)cos x + (2E + 2F)sin x
deve ser igual a sin x. Isto dá
2E - 2F = 0, 2E + 2F = 1 Longrightarrow E = tfrac14,;F = tfrac14
Logo
yp2(x) = 14cos x + 14sin x

Passo 5

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x)

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos(raiz2,x)+C2sin(raiz2,x)r) + 13x^3 + 23x^2 + 29x - 827 + 14cos x + 14sin x

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