Qual a distância entre um vértice de um cubo, com aresta medindo 20 raiz6 m, e uma das diagonais do cubo que não passam por esse vértice.

Passo 1

O enunciado pede a distância de um vértice de um cubo de aresta a=20raiz6 até uma das diagonais espaciais que não passa por esse vértice. Isso é um problema de distância de um ponto a uma reta em R^3. Vamos usar a fórmula
dist(P,L) =|(P-A)times (B-A)||B-A|,
onde A e B são dois pontos distintos da reta L e P é o ponto dado.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o vértice P fica na origem, ou seja P=(0,0,0), e as arestas do cubo estão ao longo dos eixos. Assim a aresta tem comprimento a, e os vértices possíveis são combinações de 0 e a. Uma diagonal que não passa em P liga, por exemplo,
A=(a,0,0) a B=(0,a,a)

Passo 3

Formamos os vetores
AP=P-A=(-a,0,0),
AB=B-A=(-a,a,a)
Aplicamos então a fórmula da distância de P à reta AB.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial e as normas:
APtimes AB =( -a,0,0)times(-a,a,a) =l(0,;a^2,;-a^2r),
|APtimes AB| =raiz0 + a^4 + a^4 =a^2raiz2,
|AB| =raiz(-a)^2 + a^2 + a^2 =araiz3
Logo
dist =a^2raiz2araiz3 =araiz23

Passo 5

Bast a substituir a=20raiz6:
dist =20raiz6,raiz23 =20raiz123 =20raiz4 =40

Resposta

A distância é 40 metros.

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