Qual a distância entre um vértice de um cubo, com aresta medindo , e uma das diagonais do cubo que não passam por esse vértice.
Passo 1
O enunciado pede a distância de um vértice de um cubo de aresta até uma das diagonais espaciais que não passa por esse vértice. Isso é um problema de distância de um ponto a uma reta em . Vamos usar a fórmula
onde e são dois pontos distintos da reta e é o ponto dado.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que o vértice fica na origem, ou seja , e as arestas do cubo estão ao longo dos eixos. Assim a aresta tem comprimento , e os vértices possíveis são combinações de 0 e . Uma diagonal que não passa em liga, por exemplo,
Passo 3
Formamos os vetores
AB=B-A=(-a,a,a)
Aplicamos então a fórmula da distância de P à reta AB.
Passo 4
Calculamos o produto vetorial e as normas:
APtimes AB =( -a,0,0)times(-a,a,a) =l(0,;a^2,;-a^2r),