Dê o domínio das seguintes funções reais:
a) f(x) = 3x+2
b) g(x) = 1/x+2
c) h(x) = -x-1 / x²-4
d) p(x) = √x-1 (raiz de x-1)
e) q(x) = 1/√x+1 (um dividido por raiz de x+1)
f) r(x) = √x+2/x-2 (raiz de x+2 dividido por x-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir o domínio de várias funções reais. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (x) para os quais a função está definida. Para resolver isso, a gente precisa entender algumas regras básicas de matemática, como evitar divisões por zero e não trabalhar com raízes de números negativos. Vamos analisar cada função passo a passo para encontrar seus respectivos domínios.

Passo 2

a) $ f(x) = 3x + 2 $

Primeiro, essa função é uma função polinomial de primeiro grau. As funções polinomiais estão definidas para todos os números reais porque não há divisões ou raízes envolvidas.
Domínio: Todos os números reais.

Passo 3

b) $ g(x) = \frac{1}{x} + 2 $

Aqui temos uma fração, e precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero não é permitido.
  1. Identificar o denominador: O denominador é $ x $.
  2. Condição: $ x \neq 0 $.
Então, o domínio de $ g(x) $ são todos os números reais exceto zero.
Domínio: $ \mathbb{R} \setminus {0} $

Passo 4

c) $ h(x) = \frac{-x - 1}{x^2 - 4} $

Novamente, temos uma fração, então o denominador $ x^2 - 4 $ não pode ser zero.
  1. Encontrar quando o denominador é zero: h(x) = -x - 1x^2 - 4
  2. Condição: $ x \neq 2 $ e $ x \neq -2 $.
Portanto, o domínio de $ h(x) $ são todos os números reais exceto 2 e -2.
Domínio: $ \mathbb{R} \setminus {-2, 2} $

Passo 5

d) $ p(x) = \sqrt{x - 1} $

Aqui temos uma raiz quadrada. O conteúdo dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero porque não podemos tirar a raiz de um número negativo no conjunto dos números reais.
  1. Condição: $ x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 $.
Então, o domínio de $ p(x) $ são todos os números reais maiores ou iguais a 1.
Domínio: $ [1, \infty) $

Passo 6

e) $ q(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} $

Essa função combina uma fração com uma raiz quadrada. Precisamos garantir duas coisas:
  1. O denominador não pode ser zero: q(x) = 1raizx + 1
  2. O conteúdo da raiz deve ser maior que zero (porque está no denominador): raizx + 1 neq 0 Rightarrow x + 1 neq 0 Rightarrow x neq -1
Portanto, o domínio de $ q(x) $ são todos os números reais maiores que -1.
Domínio: $ (-1, \infty) $

Passo 7

f) $ r(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 2} $

Aqui temos tanto uma raiz quadrada no numerador quanto uma fração. Precisamos cuidar de duas condições:
  1. O denominador não pode ser zero: r(x) = raizx + 2x - 2
  2. O conteúdo da raiz deve ser maior ou igual a zero: x - 2 neq 0 Rightarrow x neq 2
Unindo essas condições, $ x $ deve ser maior ou igual a -2, mas diferente de 2.
Domínio: $ [-2, 2) \cup (2, \infty) $

Resposta

Resumindo, os domínios das funções são:
a) $ f(x) = 3x + 2 $
Domínio: Todos os números reais.
b) $ g(x) = \frac{1}{x} + 2 $
Domínio: $ \mathbb{R} \setminus {0} $
c) $ h(x) = \frac{-x - 1}{x^2 - 4} $
Domínio: $ \mathbb{R} \setminus {-2, 2} $
d) $ p(x) = \sqrt{x - 1} $
Domínio: $ [1, \infty) $
e) $ q(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} $
Domínio: $ (-1, \infty) $
f) $ r(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 2} $
Domínio: $ [-2, 2) \cup (2, \infty) $

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