T(x, y, z)=(2 x+2 y, 2 x-y, 2 z)
Té diagonalizavel?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear TcolonR^3toR^3 por
T(x,y,z) = (2x+2y,;2x-y,;2z)
Queremos verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos usar o conceito de autovalores e autovetores: montamos a matriz de T na base canônica, calculamos o polinômio característico, obtemos os autovalores e, por fim, mostramos que há três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

A matriz de T na base canônica e1,e2,e3 é
A = 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2
porque
T(e1) = (2,2,0), T(e2) = (2,-1,0), T(e3) = (0,0,2)

Passo 3

Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I). Como o bloco 2times 2 superior está isolado da terceira linha/coluna, temos
det(A - lambda I) = (2-lambda),det!2-lambda & 2[4pt]2 & -1-lambda ]

Passo 4

Expandindo o determinante do bloco 2times2:
det2-lambda & 22 & -1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda)-2cdot2 =lambda^2-lambda-6 =(lambda-3)(lambda+2)
Logo, o polinômio característico é
det(A-lambda I)=(2-lambda)(lambda-3)(lambda+2)
Os autovalores são lambda1=2, lambda2=3 e lambda3=-2, todos distintos.

Passo 5

Agora obtemos os autovetores de cada autovalor:
Para , resolvemos :
Autovetor: .
Para , resolvemos :
Autovetor: .
Para , resolvemos :
Autovetor: .

Passo 6

Como obtivemos três autovalores distintos, cada um com um autovetor não nulo, esses três autovetores são linearmente independentes em R^3. Portanto, a matriz A é diagonalizável.

Resposta

Sim, T é diagonalizável.

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