Sejam A=(1,-1),(0,2) e B=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0), bases de R^2 e R^3, respectivamente, e [T]A, B=[rr1 & 0 1 & 1 0 & -1].
Ache uma base C de R^3 tal que [T]A, C=[ll1 & 0 0 & 0 0 & 1].

Passo 1

Aqui temos uma transformação linear
TcolonR^2toR^3
cuja matriz em relação à base do domínio
;A=a1=(1,-1),,a2=(0,2)
e à base do contradomínio
;B=b1=(1,0,-1),,b2=(0,1,2),,b3=(1,2,0)
é
[T]A,B = 1 & 0 1 & 1 0 & -1
Queremos achar uma outra base
;C=c1,c2,c3
de R^3 tal que
[T]A,C = 1 & 0 0 & 0 0 & 1
Isso significa que, nas coordenadas de C, teremos
;T(a1)=1cdot c1+0cdot c2+0cdot c3
e
;T(a2)=0cdot c1+0cdot c2+1cdot c3.
Para isso, vamos primeiro encontrar T(a1) e T(a2) em coordenadas canônicas.

Passo 2

Na base B, as colunas de [T]A,B dão as coordenadas de T(a1) e T(a2). Assim,
[T(a1)]B =110, [T(a2)]B =01-1

Passo 3

Para obter essas imagens nos vetores canônicos de R^3, escrevemos
T(a1) =1cdot b1 +1cdot b2 +0cdot b3 =b1+b2 =(1,0,-1)+(0,1,2) =(1,1,1),
T(a2) =0cdot b1 +1cdot b2 +(-1)cdot b3 =b2 - b3 =(0,1,2)-(1,2,0) =(-1,-1,2)

Passo 4

Para que
;T(a1)=c1
e
;T(a2)=c3
nas coordenadas da base C, escolhemos
c1=(1,1,1), c3=(-1,-1,2)
Falta um vetor c2 que, junto com c1 e c3, forme base de R^3. Podemos escolher, por exemplo,
c2=b1=(1,0,-1),
pois já vimos que b1 não está no span c1,c3. Assim
;C=c1,c2,c3
é uma base de R^3 e, por construção,
[T]A,C=1&00&00&1

Resposta

Uma escolha conveniente é
C=l(1,1,1),,(1,0,-1),,(-1,-1,2)r

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