Mostre que as funções
são linearmente independentes no intervalo
.
Sugestão. Suponha que, para todo
,
Multiplique esta igualdade por sen
, integre no intervalo
e então deduza que
para
.
Sugestão. Suponha que, para todo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
são linearmente independentes em
. O conteúdo que vamos usar é a ortogonalidade das funções seno no intervalo
: para
,
é zero se
e igual a
se
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista uma combinação linear nula não trivial, isto é, existam escalares
, nem todos zero, tais que para todo
Passo 3
Multiplique essa igualdade por
, para um
fixo, e integre de
a
:
Pela linearidade da integral, isso dá
Passo 4
Vamos usar a ortogonalidade das funções seno. Primeiro, pelo produto-soma,
logo, para
,
pois
para inteiro
. Para
,
Passo 5
Voltando à soma na qual só o termo com
não anula, resulta
Como isso vale para todo
, segue que
. Portanto, não existe combinação linear não trivial que zere identicamente, e as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções
são linearmente independentes em
.