Mostre que as funções sen x, sen 2 x, sen 3 x, ldots, sen n x são linearmente independentes no intervalo [0, pi].
Sugestão. Suponha que, para todo x in[0, pi],
alpha1 sen x+alpha2 sen 2 x+ldots+alphan sen n x=0
Multiplique esta igualdade por sen m x, integre no intervalo [0, pi] e então deduza que cm=0 para m=1,2, ldots, n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções sin x,sin2x,dots,sin n x são linearmente independentes em [0,pi]. O conteúdo que vamos usar é a ortogonalidade das funções seno no intervalo [0,pi]: para k,min1,dots,n,
integral0^pisin(kx),sin(mx),dx
é zero se kneq m e igual a pi/2 se k=m.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista uma combinação linear nula não trivial, isto é, existam escalares alpha1,dots,alphan, nem todos zero, tais que para todo xin[0,pi]
alpha1sin x+alpha2sin2x+cdots+alphansin n x = 0

Passo 3

Multiplique essa igualdade por sin(mx), para um min1,dots,n fixo, e integre de 0 a pi:
integral0^pil(alpha1sin x+cdots+alphansin n xr)sin(mx),dx = 0
Pela linearidade da integral, isso dá
alpha1integral0^pisin x,sin(mx),dx + cdots + alphanintegral0^pisin n x,sin(mx),dx = 0

Passo 4

Vamos usar a ortogonalidade das funções seno. Primeiro, pelo produto-soma,
sin(kx),sin(mx) = cosl((k-m)xr)-cosl((k+m)xr)2,
logo, para kneq m,
integral0^pisin(kx),sin(mx),dx = 12l[sinl((k-m)xr)k-m-sinl((k+m)xr)k+mr]0^pi =0,
pois sinl(ellpir)=0 para inteiro ell. Para k=m,
integral0^pisin^2(mx),dx = 12integral0^pil(1-cos(2mx)r),dx = 12l[x-sin(2mx)2mr]0^pi = pi2

Passo 5

Voltando à soma na qual só o termo com k=m não anula, resulta
alpham,pi2 = 0 Longrightarrow alpham = 0
Como isso vale para todo m=1,2,dots,n, segue que alpha1=alpha2=cdots=alphan=0. Portanto, não existe combinação linear não trivial que zere identicamente, e as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções sin x,sin2x,dots,sin n x são linearmente independentes em [0,pi].

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