Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal:
\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix}
usando uma matriz ortogonal P, ou seja, encontrar P tal que
P^{t} A P
seja diagonal. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes simétricas via autovalores e autovetores ortonormais.]

Passo 2

Como A é simétrica, seus autovalores são reais e podemos escolher um conjunto ortonormal de autovetores. Primeiro encontramos o polinômio característico:
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[3pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)^2 - 1 =\lambda^2 -4\lambda +3.
As raízes são \lambda_1=1 e \lambda_2=3.]

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para \lambda_2=3:
(A - 3I)x = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[3pt] 1 & -1\end{pmatrix}x = 0
x_1 = x_2. Um vetor próprio é \bigl(1,1\bigr), que normalizamos:
v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\[3pt] 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_1=1:
(A - I)x = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix}x = 0
x_1 = -x_2. Um vetor próprio é \bigl(1,-1\bigr), que normalizamos:
v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\[3pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como \{v_1,v_2\} é uma base ortonormal, montamos
P = \begin{pmatrix} | & | \\[3pt] v_1 & v_2 \\[3pt] | & | \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\[3pt] -1 & 1 \end{pmatrix}.
Então
P^{t} A P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 3\end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz ortogonal é
P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\[3pt] -1 & 1 \end{pmatrix},
e a forma diagonal é
P^{t}AP = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 3\end{pmatrix}.]

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