(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) (x-1)^{2}+2(y-2)=0
( ) Vazio
b) (x-1)^{2}+2(y-2)^{2}=-5
( ) Parábola
c) (x-1)^{2}-2(y-2)^{2}=0
( ) Retas concorrentes
d) (x-1)^{2}+2(y-2)^{2}=5
( ) Elipse

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos quatro equações de cônicas centradas em (1,2). Precisamos identificar se cada uma é uma parábola, uma elipse, um par de retas concorrentes ou se não tem pontos reais (vazio). Vamos classificar cada equação e depois associar a letra da equação ao tipo de cônica.

Passo 2

Analisando
(x-1)^{2} + 2(y-2) = 0
repare que é quadrática em x mas apenas linear em y. Podemos reescrever
y-2 = -\frac{(x-1)^{2}}{2},
ou seja, y em função de x de segundo grau: isso é uma parábola. Logo, a equação (a) é parábola.

Passo 3

Analisando
(x-1)^{2} + 2(y-2)^{2} = -5,
a soma de quadrados de expressões reais não pode ser negativa. Não há soluções reais, portanto isso representa o conjunto vazio. Logo, a equação (b) é vazio.

Passo 4

Analisando
(x-1)^{2} - 2(y-2)^{2} = 0,
essa equação é equivalente a
(x-1)^{2} = 2(y-2)^{2},
ou
x-1 = \pm\sqrt{2}\,(y-2),
que são duas retas passando por (1,2). Logo, a equação (c) é retas concorrentes.

Passo 5

Analisando
(x-1)^{2} + 2(y-2)^{2} = 5,
temos soma de dois quadrados igual a constante positiva, caracterizando uma elipse. Logo, a equação (d) é elipse.

Passo 6

Agora vinculamos cada tipo à letra da equação:
(b) Vazio
(a) Parábola
(c) Retas concorrentes
(d) Elipse

Resposta

(b) Vazio
(a) Parábola
(c) Retas concorrentes
(d) Elipse

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