Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal: \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz simétrica
por meio de uma matriz ortogonal P, ou seja, encontrar vetores próprios ortonormais de A de modo que
P^{t}AP
seja diagonal. Vamos usar aqui o Teorema Espectral para matrizes simétricas: seus valores próprios são reais e existe uma base ortonormal formada por vetores próprios.
Passo 2
Calculamos os valores próprios de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0. Note que
A = I + J,
onde I é a identidade 3\times3 e J é a matriz de todas entradas iguais a 1. Sabemos que J tem autovalores 3 (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade 2). Logo os autovalores de A são