Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal:
\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz simétrica
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
por meio de uma matriz ortogonal P, ou seja, encontrar vetores próprios ortonormais de A de modo que
P^{t}AP
seja diagonal. Vamos usar aqui o Teorema Espectral para matrizes simétricas: seus valores próprios são reais e existe uma base ortonormal formada por vetores próprios.

Passo 2

Calculamos os valores próprios de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0. Note que
A = I + J,
onde I é a identidade 3\times3 e J é a matriz de todas entradas iguais a 1. Sabemos que J tem autovalores 3 (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade 2). Logo os autovalores de A são
1+3=4\quad(\text{multiplicidade 1}),\qquad 1+0=1\quad(\text{multiplicidade 2}).

Passo 3

Para \lambda=4, resolvemos (A-4I)x=0. Observando
A-4I = -I + J,
vemos que todas as componentes de x devem ser iguais. Um vetor próprio é
v_1 = (1,1,1).
Normalizando, obtemos
u_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).

Passo 4

Para \lambda=1, resolvemos (A-I)x=0, ou seja Jx=0. Isso implica
x_1+x_2+x_3=0,
isto é, o subespaço próprio é o plano ortogonal a (1,1,1). Podemos escolher dois vetores independentes nesse plano, por exemplo
v_2 = (1,-1,0),\quad v_3 = (1,1,-2).
Suas normas são \|v_2\|=\sqrt{2} e \|v_3\|=\sqrt{6}. Assim os vetores ortonormais são
u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\qquad u_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2).

Passo 5

Formamos P cujas colunas são os vetores ortonormais (u_1,u_2,u_3). Então P é ortogonal e diagonaliza A:
P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix},
e por construção P^{t}P=I e
P^{t}AP = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \qquad P^{t}AP = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

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