(Questão 02 ) [ \mathbf{2 , 0} pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}=5
b) x^{2}-y^{2}-2 z^{2}=1
c) x^{2}+y^{2}+z=0
d) -x^{2}+18 y^{2}+3 z^{2}=1
( )Elipsóide
( )Hiperbolóide de 1 folha
( )Hiperbolóide de 2 folhas
( )Parabolóide Elíptico

Passo 1

O enunciado pede para associar cada uma das quatro equações de segundo grau (as quádricas) com o nome correto: Elipsóide, Hiperbolóide de 1 folha, Hiperbolóide de 2 folhas e Parabolóide Elíptico. Para isso, vamos usar dois critérios principais:
  1. Se algum dos termos aparece com grau 1 (ou seja, é linear), temos um paraboloide.
  2. Se todos os termos são quadráticos e há uma constante diferente de zero, temos um central (elipsóide ou hiperbolóide), cuja classificação depende do sinal das coeficientes dos quadrados.

Passo 2

Entre as equações dadas, a única que possui um termo linear é a (c)
x^{2}+y^{2}+z=0
pois o termo em z não é quadrático. Isso indica um parabolóide. Como os coeficientes de x^{2} e de y^{2} são ambos positivos (ao passar z para o outro lado fica z=-x^{2}-y^{2}), trata-se de um Parabolóide Elíptico.

Passo 3

As demais equações são todas com termos quadráticos iguais a uma constante positiva, logo são quádricas centrais. Entre elas, para identificar um Elipsóide, basta ver se todos os coeficientes dos quadrados têm o mesmo sinal e a constante do lado direito é positiva. A equação (a)
x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=5
tem todos os coeficientes positivos e iguala 5, logo é um Elipsóide.

Passo 4

Sobram agora as equações (b) e (d), ambas centrais, para classificar como hiperbolóide. Usamos o critério:
  • Hiperbolóide de duas folhas tem exatamente um coeficiente positivo e dois negativos, com constante positiva.
  • Hiperbolóide de uma folha tem dois coeficientes positivos e um negativo, com constante positiva.

Passo 5

Na equação (b)
x^{2}-y^{2}-2z^{2}=1
há um coeficiente positivo x^{2} e dois negativos -y^{2}, -2z^{2}, logo é um Hiperbolóide de 2 folhas.
Na equação (d)
-\,x^{2}+18y^{2}+3z^{2}=1
há dois coeficientes positivos 18y^{2}, 3z^{2} e um negativo -x^{2}, logo é um Hiperbolóide de 1 folha.

Resposta

Elipsóide: a
Hiperbolóide de 1 folha: d
Hiperbolóide de 2 folhas: b
Parabolóide Elíptico: c

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