(Questão 03)[2,0 pontos] Assinale V quando a afirmação for VERDADEIRA e \mathbf{F} quando a afirmação for FALSA.
( ) Sejam \vec{u}, \vec{v} vetores quaisquer. Então \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}
() Sejam \vec{u}, \vec{v} vetores quaisquer. Então \vec{u} \times \vec{v}=0 \Leftrightarrow\{\vec{u}, \vec{v}\} é L . D
( ) Todo conjunto de três vetores, se L.I, é também base de V^{3}
() Dados dois vetores \vec{u} e \vec{v} linearmente independentes, então o conjunto \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \times \vec{v}\} é também L.I.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre vetores em \mathbb{R}^3:
  1. Produto escalar e ortogonalidade.
  2. Produto vetorial nulo e dependência linear de dois vetores.
  3. Conjunto de três vetores LI em \mathbb{R}^3 é base.
  4. Dois vetores LI geram um terceiro via produto vetorial que mantém independência.
    Vamos avaliar cada uma usando conceitos de produto escalar, produto vetorial, independência e dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Afirmação 1: “ \vec{u}\cdot\vec{v}=0\Leftrightarrow\vec{u}\perp\vec{v}”.
Por definição, em \mathbb{R}^n dois vetores são ortogonais exatamente quando seu produto escalar é zero.
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação 2: “ \vec{u}\times\vec{v}=0\Leftrightarrow\{\vec{u},\vec{v}\} é linearmente dependente”.
Sabemos que \vec{u}\times\vec{v}=0 ocorre se e somente se \vec{u} é paralelo a \vec{v} ou um dos dois é o vetor zero.
Paralelismo ou presença do vetor zero implica dependência linear de \{\vec{u},\vec{v}\}, e vice-versa.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação 3: “Todo conjunto de três vetores, se LI, é também base de V^3”.
Em um espaço vetorial de dimensão 3 (como \mathbb{R}^3), qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes gera o espaço todo.
Logo, é base. A afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: “Dados dois vetores \vec{u} e \vec{v} linearmente independentes, o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{u}\times\vec{v}\} é também LI.”
O vetor \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular tanto a \vec{u} quanto a \vec{v}, não podendo ser combinação linear deles.
Assim, o tripé é LI em \mathbb{R}^3. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(V) (V) (V) (V)

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