(Questão 03)[2,0 pontos] Assinale V quando a afirmação for VERDADEIRA e
quando a afirmação for FALSA.
( ) Sejam
vetores quaisquer. Então
() Sejam
vetores quaisquer. Então
é
( ) Todo conjunto de três vetores, se L.I, é também base de
() Dados dois vetores
e
linearmente independentes, então o conjunto
é também L.I.
( ) Sejam
() Sejam
( ) Todo conjunto de três vetores, se L.I, é também base de
() Dados dois vetores
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre vetores em
:
- Produto escalar e ortogonalidade.
- Produto vetorial nulo e dependência linear de dois vetores.
- Conjunto de três vetores LI em
é base. - Dois vetores LI geram um terceiro via produto vetorial que mantém independência.
Vamos avaliar cada uma usando conceitos de produto escalar, produto vetorial, independência e dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
Afirmação 1: “
”.
Por definição, em dois vetores são ortogonais exatamente quando seu produto escalar é zero.
Logo, a afirmação é verdadeira.
Por definição, em
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação 2: “
é linearmente dependente”.
Sabemos que ocorre se e somente se
é paralelo a
ou um dos dois é o vetor zero.
Paralelismo ou presença do vetor zero implica dependência linear de , e vice-versa.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Sabemos que
Paralelismo ou presença do vetor zero implica dependência linear de
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação 3: “Todo conjunto de três vetores, se LI, é também base de
”.
Em um espaço vetorial de dimensão 3 (como ), qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes gera o espaço todo.
Logo, é base. A afirmação é verdadeira.
Em um espaço vetorial de dimensão 3 (como
Logo, é base. A afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação 4: “Dados dois vetores
e
linearmente independentes, o conjunto
é também LI.”
O vetor é perpendicular tanto a
quanto a
, não podendo ser combinação linear deles.
Assim, o tripé é LI em . A afirmação é verdadeira.
O vetor
Assim, o tripé é LI em
Resposta
(V) (V) (V) (V)