(Questão 03)[2,0 pontos] Considere as seguintes sentenças:
  • Se \vec{u} / / \vec{v}, então \operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v}=\vec{u};
  • \operatorname{Se}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é LI, então [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \neq 0 ;
    * \vec{u} \cdot \vec{u}=\|\vec{u}\|^{2} ;
    * \vec{u} \wedge \vec{v}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow(\vec{u}, \vec{v}) é LD;
  • Se ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é base, então ( \vec{u}+\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}+\vec{v}+\vec{w} ) é também base.
Assinale a alternativa que corresponde às veracidades das afirmaçõs anteriores na ordem em que foram apresentadas, sendo F , correspondente às setenças FALSAS, e V, às sentenças VERDADEIRAS.
(a) V, F, V, V, F
(b) V, V, F, V, F
(c) F, V, F, V, F
(d) F, V, V, V, F
(e) V, F, V, F, F

Passo 1

O enunciado lista cinco afirmações sobre vetores em \mathbb{R}^3: projeção, produto misto, produto escalar, produto vetorial e mudança de base. Precisamos verificar se cada afirmação é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F) e, ao final, indicar a sequência correspondente.

Passo 2

Analisando “Se \vec{u}\,//\,\vec{v}, então \operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\vec{u}”.
Como \vec{u}//\vec{v} significa \vec{v}=\lambda\vec{u}, temos
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v} =\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u} =\frac{\lambda\,\vec{u}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u} =\lambda\,\vec{u} =\vec{v},
não \vec{u} em geral. Logo, essa afirmação é FALSA.

Passo 3

Analisando “Se (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é LI, então [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\neq0”.
Aqui [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é o produto misto. Sabemos que um triplo é linearmente independente se e só se esse produto misto for não nulo. Portanto, a afirmação é VERDADEIRA.

Passo 4

Analisando “ \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}”.
Pela definição de norma, \|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}, elevando ao quadrado vem exatamente \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}. A afirmação é VERDADEIRA.

Passo 5

Analisando “ \vec{u}\wedge\vec{v}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow(\vec{u},\vec{v}) é LD”.
O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0} ocorre exatamente quando \vec{u} e \vec{v} são paralelos, ou seja, linearmente dependentes. Logo, a afirmação é VERDADEIRA.

Passo 6

Analisando “Se (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é base, então (\vec{u}+\vec{v},\,\vec{w},\,\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) é também base.”
Note que
(\vec{u}+\vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w},
ou seja, o terceiro vetor é soma dos dois primeiros, gerando dependência linear. Portanto, a afirmação é FALSA.

Resposta

(d) F, V, V, V, F

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