(Questão 03)[2,0 pontos] Considere as seguintes sentenças:
- Se
, então
;
-
é LI, então
é LD;
- Se (
) é base, então (
) é também base.
Assinale a alternativa que corresponde às veracidades das afirmaçõs anteriores na ordem em que foram apresentadas, sendo F , correspondente às setenças FALSAS, e V, às sentenças VERDADEIRAS.
(a) V, F, V, V, F
(b) V, V, F, V, F
(c) F, V, F, V, F
(d) F, V, V, V, F
(e) V, F, V, F, F
(a) V, F, V, V, F
(b) V, V, F, V, F
(c) F, V, F, V, F
(d) F, V, V, V, F
(e) V, F, V, F, F
Passo 1
O enunciado lista cinco afirmações sobre vetores em
: projeção, produto misto, produto escalar, produto vetorial e mudança de base. Precisamos verificar se cada afirmação é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F) e, ao final, indicar a sequência correspondente.
Passo 2
Analisando “Se
, então
”.
Como significa
, temos
Como
não
em geral. Logo, essa afirmação é FALSA.
Passo 3
Analisando “Se
é LI, então
”.
Aqui é o produto misto. Sabemos que um triplo é linearmente independente se e só se esse produto misto for não nulo. Portanto, a afirmação é VERDADEIRA.
Aqui
Passo 4
Analisando “
”.
Pela definição de norma, , elevando ao quadrado vem exatamente
. A afirmação é VERDADEIRA.
Pela definição de norma,
Passo 5
Analisando “
é LD”.
O produto vetorial ocorre exatamente quando
e
são paralelos, ou seja, linearmente dependentes. Logo, a afirmação é VERDADEIRA.
O produto vetorial
Passo 6
Analisando “Se
é base, então
é também base.”
Note que
Note que
ou seja, o terceiro vetor é soma dos dois primeiros, gerando dependência linear. Portanto, a afirmação é FALSA.
Resposta
(d) F, V, V, V, F