Identifique as quádricas a seguir.
;
Passo 1
O enunciado dá a equação da quádrica
e pede que a identifiquemos (classifiquemos o tipo de superfície). Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O termo quadrático presente é
(não há termos , ou ). - Existem termos lineares em
, e : , e . - A equação é afim em
(ou seja, podemos isolar como função de e ).
Passo 2
Estratégia para identificar a quádricas (explicação didática):
- Quando a equação pode ser escrita isolando
em função de e , isto indica que a superfície é um tipo de “paraboloide” (se a parte quadrática em tem sinais opostos ou iguais, dá paraboloide hiperbólico ou elíptico). - Aqui existe apenas o termo misto
. Uma maneira prática para eliminar o termo misto é fazer a mudança de variáveis que diagonaliza o produto : usar as combinações e . Vou usar esse método porque torna a expressão em termos de quadrados de e , facilitando a classificação.
(Escolhi esse método porque é simples, usa apenas álgebra elementar e funciona bem quando só há o termo.)
Passo 3
Isolar
da equação dada:
Passo 4
Fazer a mudança de variáveis linear
Expressamos
e
em função de
e
:
Agora calculamos
em função de
:
Passo 5
Substituir
,
e
em
.
Primeiro o termo :
Primeiro o termo
Agora os termos lineares:
Expandindo:
Logo, substituindo tudo em
:
Passo 6
Agrupar termos por
e
:
Vamos completar o quadrado separadamente para os termos em
e em
.
Para
:
Para
:
Substituindo de volta em
:
Passo 7
Somar as constantes:
logo
Reescrevendo de forma mais clara:
Multiplicando por
obtemos a forma canônica equivalente
Passo 8
Interpretação da forma canônica:
- Aqui
aparece de forma linear e a expressão do lado direito é a diferença de dois quadrados (um com sinal + e outro com sinal −). Isso é a característica de um paraboloide hiperbólico (superfície em que um eixo gera curvatura positiva e outro negativa — forma de sela). - Outra maneira de ver: a parte quadrática em
tem posto e sinais opostos (assinatura ), o que confirma que a quádricas é um paraboloide hiperbólico.
Resposta
Paraboloide hiperbólico.