Identifique as quádricas a seguir.
2 x y-6 x+10 y+z-31=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação da quádrica
2xy-6x+10y+z-31=0
e pede que a identifiquemos (classifiquemos o tipo de superfície). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo quadrático presente é \,2xy\, (não há termos x^2, y^2 ou z^2).
  • Existem termos lineares em x, y e z: -6x, 10y e z.
  • A equação é afim em z (ou seja, podemos isolar z como função de x e y).

Passo 2

Estratégia para identificar a quádricas (explicação didática):
  • Quando a equação pode ser escrita isolando z em função de x e y, isto indica que a superfície é um tipo de “paraboloide” (se a parte quadrática em x,y tem sinais opostos ou iguais, dá paraboloide hiperbólico ou elíptico).
  • Aqui existe apenas o termo misto xy. Uma maneira prática para eliminar o termo misto é fazer a mudança de variáveis que diagonaliza o produto xy: usar as combinações \,u=x+y\, e \,v=x-y\,. Vou usar esse método porque torna a expressão em termos de quadrados de u e v, facilitando a classificação.
    (Escolhi esse método porque é simples, usa apenas álgebra elementar e funciona bem quando só há o termo xy.)

Passo 3

Isolar z da equação dada:
2xy-6x+10y+z-31=0 \quad\Rightarrow\quad z=31-2xy+6x-10y.

Passo 4

Fazer a mudança de variáveis linear
u=x+y,\qquad v=x-y.
Expressamos x e y em função de u e v:
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Agora calculamos xy em função de u,v:
xy=\frac{u+v}{2}\cdot\frac{u-v}{2}=\frac{u^2-v^2}{4}.

Passo 5

Substituir xy, x e y em z=31-2xy+6x-10y.
Primeiro o termo -2xy:
-2xy=-2\cdot\frac{u^2-v^2}{4}=-\frac{u^2-v^2}{2}=-\frac{1}{2}u^2+\frac{1}{2}v^2.
Agora os termos lineares:
6x-10y=6\cdot\frac{u+v}{2}-10\cdot\frac{u-v}{2}=3(u+v)-5(u-v).
Expandindo:
3(u+v)-5(u-v)=3u+3v-5u+5v=-2u+8v.
Logo, substituindo tudo em z:
z=31+\Big(-\frac{1}{2}u^2+\frac{1}{2}v^2\Big)+(-2u+8v).

Passo 6

Agrupar termos por u e v:
z=31-\frac{1}{2}u^2-2u+\frac{1}{2}v^2+8v.
Vamos completar o quadrado separadamente para os termos em u e em v.
Para u:
-\frac{1}{2}u^2-2u=-\frac{1}{2}\big(u^2+4u\big)=-\frac{1}{2}\big((u+2)^2-4\big)=-\frac{1}{2}(u+2)^2+2.
Para v:
\frac{1}{2}v^2+8v=\frac{1}{2}\big(v^2+16v\big)=\frac{1}{2}\big((v+8)^2-64\big)=\frac{1}{2}(v+8)^2-32.
Substituindo de volta em z:
z=31+\Big(-\frac{1}{2}(u+2)^2+2\Big)+\Big(\frac{1}{2}(v+8)^2-32\Big).

Passo 7

Somar as constantes:
31+2-32=1,
logo
z=1-\frac{1}{2}(u+2)^2+\frac{1}{2}(v+8)^2.
Reescrevendo de forma mais clara:
z-1=\frac{1}{2}(v+8)^2-\frac{1}{2}(u+2)^2.
Multiplicando por 2 obtemos a forma canônica equivalente
2(z-1)=(v+8)^2-(u+2)^2.

Passo 8

Interpretação da forma canônica:
  • Aqui z aparece de forma linear e a expressão do lado direito é a diferença de dois quadrados (um com sinal + e outro com sinal −). Isso é a característica de um paraboloide hiperbólico (superfície em que um eixo gera curvatura positiva e outro negativa — forma de sela).
  • Outra maneira de ver: a parte quadrática em (x,y,z) tem posto 2 e sinais opostos (assinatura (+,-,0)), o que confirma que a quádricas é um paraboloide hiperbólico.

Resposta

Paraboloide hiperbólico.

Exercícios relacionados