Mostre que uma matriz A é invertível se, e somente se, não tem autovalor zero.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência entre duas afirmações sobre uma matriz A: (i) A é invertível; (ii) 0 não é autovalor de A. As informações relevantes que o enunciado dá (assumindo que a questão está bem formulada) são: A é uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}), e o termo “autovalor” significa que existe um vetor não nulo v tal que Av=\lambda v para algum escalar \lambda. A tarefa é mostrar que (i) implica (ii) e que (ii) implica (i).

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados devagarinho).
  • Definição de invertível: A matriz A é invertível se existe uma matriz B tal que
AB=BA=I,
onde I é a matriz identidade n\times n. O B é chamado de inversa de A e costuma ser denotado A^{-1}.
  • Definição de autovalor: Um escalar \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo v (ou seja, v\neq 0) tal que
Av=\lambda v.
Esse vetor v é um autovetor associado a \lambda.
  • Núcleo (ou espaço nulo): \ker(A)=\{x\in\mathbb{F}^n\mid Ax=0\}. Se existe x\neq 0 com Ax=0, dizemos que \ker(A) é não trivial.
  • Teorema do posto-nulidade (rank-nullity): Para uma transformação linear A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^n,
\dim(\ker(A))+\operatorname{rank}(A)=n.
Isso será útil para ligar “ker trivial” a “posto máximo” e à invertibilidade.

Passo 3

Prova da implicação (i) \Rightarrow (ii): “Se A é invertível, então 0 não é autovalor.”
  • Suponha que A é invertível; então existe A^{-1} tal que A^{-1}A=I.
  • Suponha, por contradição, que 0 é autovalor. Então existe v\neq 0 tal que
Av=0.
  • Aplicando A^{-1} aos dois lados, obtemos
A^{-1}(Av)=A^{-1}0 \quad\Rightarrow\quad (A^{-1}A)v=0 \quad\Rightarrow\quad Iv=0 \quad\Rightarrow\quad v=0.
  • Isso contradiz a hipótese v\neq 0. Logo a suposição de que 0 era autovalor é falsa, e portanto 0 não é autovalor de A.
  • Intuição: se A tem inversa, a única solução de Ax=0 é x=0; não há autovetor associado a \lambda=0.

Passo 4

Prova da implicação (ii) \Rightarrow (i): “Se 0 não é autovalor, então A é invertível.”
  • A afirmação " 0 não é autovalor" significa que não existe vetor não nulo v com Av=0. Em termos de núcleo, isso diz que
\ker(A)=\{0\}.
  • Portanto \dim(\ker(A))=0. Pelo teorema do posto-nulidade,
\operatorname{rank}(A)=n.
Ou seja, as colunas de A têm posto máximo n (são linearmente independentes) e o mapeamento linear A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^n é injetor e, por dimensão igual, também sobrejetor.
  • Um mapa linear de um espaço vetorial finito dimensional em si mesmo que seja sobrejetor possui inversa linear. Concretamente, como A é sobrejetor, para cada vetor da base canônica e_j existe um vetor b_j tal que
A b_j = e_j.
  • Colocando esses vetores b_j como colunas em uma matriz B=[b_1\\ \cdots\\ b_n], obtemos
AB = [Ae_1\\ \cdots\\ Ae_n] = [e_1\\ \cdots\\ e_n]=I.
  • Como AB=I e A e B são quadradas, segue também que BA=I (ou alternativamente pode-se mostrar diretamente que uma matriz com posto n tem inversa à esquerda e à direita coincidentes). Assim B é a inversa de A, logo A é invertível.
  • Intuição alternativa (mais direta): \ker(A)=\{0\} significa que Ax=0 tem só a solução trivial; isso implica que as colunas de A são linearmente independentes, então há n colunas independentes numa matriz n\times n, ou seja, posto n; posto n numa matriz quadrada significa invertibilidade.

Passo 5

Resumo da prova: mostramos as duas implicações:
  • Se A é invertível então não existe v\neq 0 com Av=0, logo 0 não é autovalor.
  • Se 0 não é autovalor então \ker(A)=\{0\}, pelo teorema do posto-nulidade \operatorname{rank}(A)=n, o que implica que A é sobrejetora e portanto tem inversa; logo A é invertível.
    Portanto as duas afirmações são equivalentes: A é invertível \Leftrightarrow 0 não é autovalor de A.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Matriz não invertível com autovalor 0: \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}. Aqui A\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}=0, logo 0 é autovalor e A não é invertível.
  • Matriz invertível sem autovalor 0: \displaystyle B=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}. Os autovalores são 2 e 3, nenhum deles é 0, e de fato \det(B)=6\neq 0, então B é invertível.]

Resposta

A matriz A é invertível se, e somente se, 0 não é autovalor de A.

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