Mostre que uma matriz
é invertível se, e somente se, não tem autovalor zero.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência entre duas afirmações sobre uma matriz
: (i)
é invertível; (ii)
não é autovalor de
. As informações relevantes que o enunciado dá (assumindo que a questão está bem formulada) são:
é uma matriz quadrada de ordem
sobre um corpo (por exemplo
ou
), e o termo “autovalor” significa que existe um vetor não nulo
tal que
para algum escalar
. A tarefa é mostrar que (i) implica (ii) e que (ii) implica (i).
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados devagarinho).
- Definição de invertível: A matriz
é invertível se existe uma matriz tal que
onde
é a matriz identidade
. O
é chamado de inversa de
e costuma ser denotado
.
- Definição de autovalor: Um escalar
é autovalor de se existe um vetor não nulo (ou seja, ) tal que
Esse vetor
é um autovetor associado a
.
- Núcleo (ou espaço nulo):
. Se existe com , dizemos que é não trivial. - Teorema do posto-nulidade (rank-nullity): Para uma transformação linear
,
Isso será útil para ligar “ker trivial” a “posto máximo” e à invertibilidade.
Passo 3
Prova da implicação (i)
(ii): “Se
é invertível, então
não é autovalor.”
- Suponha que
é invertível; então existe tal que . - Suponha, por contradição, que
é autovalor. Então existe tal que
- Aplicando
aos dois lados, obtemos
- Isso contradiz a hipótese
. Logo a suposição de que era autovalor é falsa, e portanto não é autovalor de . - Intuição: se
tem inversa, a única solução de é ; não há autovetor associado a .
Passo 4
Prova da implicação (ii)
(i): “Se
não é autovalor, então
é invertível.”
- A afirmação "
não é autovalor" significa que não existe vetor não nulo com . Em termos de núcleo, isso diz que
- Portanto
. Pelo teorema do posto-nulidade,
Ou seja, as colunas de
têm posto máximo
(são linearmente independentes) e o mapeamento linear
é injetor e, por dimensão igual, também sobrejetor.
- Um mapa linear de um espaço vetorial finito dimensional em si mesmo que seja sobrejetor possui inversa linear. Concretamente, como
é sobrejetor, para cada vetor da base canônica existe um vetor tal que
- Colocando esses vetores
como colunas em uma matriz , obtemos
- Como
e e são quadradas, segue também que (ou alternativamente pode-se mostrar diretamente que uma matriz com posto tem inversa à esquerda e à direita coincidentes). Assim é a inversa de , logo é invertível. - Intuição alternativa (mais direta):
significa que tem só a solução trivial; isso implica que as colunas de são linearmente independentes, então há colunas independentes numa matriz , ou seja, posto ; posto numa matriz quadrada significa invertibilidade.
Passo 5
Resumo da prova: mostramos as duas implicações:
- Se
é invertível então não existe com , logo não é autovalor. - Se
não é autovalor então , pelo teorema do posto-nulidade , o que implica que é sobrejetora e portanto tem inversa; logo é invertível.
Portanto as duas afirmações são equivalentes:é invertível não é autovalor de .
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Matriz não invertível com autovalor
: . Aqui , logo é autovalor e não é invertível. - Matriz invertível sem autovalor
: . Os autovalores são e , nenhum deles é , e de fato , então é invertível.]
Resposta
A matriz
é invertível se, e somente se,
não é autovalor de
.