Diagonalize cada matriz simétrica dada por meio de uma matriz ortogonal P.
(g) [ccc2 & 1 & 1 1 & 2 & -1 1 & -1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar por semelhança ortogonal a matriz simétrica
A= 2 & 1 & 1 1 & 2 & -1 1 & -1 & 2
O conteúdo é autovalores e autovetores de matriz simétrica, que garante autovalores reais e autovetores ortogonais. Vamos achar os autovalores, depois os autovetores, ortonormalizá-los e montar a matriz ortogonal P tal que
P^T A P = D
é diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det 2-lambda & 1 & 1 1 & 2-lambda & -1 1 & -1 & 2-lambda
Fazendo a expansão obtém-se
det(A-lambda I) =lambda(lambda-3)^2
Logo os autovalores são
lambda1=0, lambda2=lambda3=3

Passo 3

Para lambda1=0 resolvemos A x=0. O sistema dá
x2=-x1, x3=-x1,
de modo que um autovetor é
v1=(1,-1,-1)

Passo 4

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0, que impõe x1=x2+x3. Duas escolhas independentes são
v2=(1,1,0), v3=(1,-1,2),
pois em ambos 1=(1)+0 e 1=(-1)+2.

Passo 5

Normalizamos e garantimos ortogonalidade:
e1=1raiz3(1,-1,-1), e2=1raiz2(1,1,0), e3=1raiz6(1,-1,2)
Note que eicdot ej=0 para ineq j e |ei|=1.

Passo 6

Formamos P=[,e1;e2;e3,]. Então
P^T A P = 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

P pode ser escolhida como
P= 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz6 -1raiz3 & 1raiz2 & -1raiz6 -1raiz3 & 0 & 2raiz6 ,
e a forma diagonal é
D= 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 ,
de modo que P^T A P = D.

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