Diagonalize cada matriz simétrica dada por meio de uma matriz ortogonal P.
(h) [ccc1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz simétrica
A = 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1
por uma matriz ortogonal P. Para isso vamos (1) encontrar os autovalores resolvendo det(A-lambda I)=0, (2) achar os autovetores correspondentes, (3) ortonormalizá-los e (4) montar P cujas colunas são esses vetores. A diagonal D conterá os autovalores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I) = det 1-lambda & 4 & 2 4 & -5-lambda & -4 2 & -4 & 1-lambda = -lambda^3 -3lambda^2 +45lambda -81
Igualando a zero e dividindo por -1 obtemos
lambda^3 +3lambda^2 -45lambda +81 = 0,
cuja fatoração é (lambda-3)^2(lambda+9)=0. Logo os autovalores são
lambda1 = -9, lambda2 = lambda3 = 3

Passo 3

Para resolvemos :
Tomando dá o autovetor
que normalizamos para

Passo 4

Para resolvemos :
Dessa forma a base da eigenspace é dada por
e nota-se que ambos são ortogonais a .

Passo 5

Ortonormalizamos va e vb por Gram–Schmidt dentro da igualdade lambda=3:
e2=va|va| =1raiz5(2,1,0),
w =vb - (vbcdot e2),e2 = (1,0,1) -2raiz5,1raiz5(2,1,0) = l(tfrac15,-tfrac25,1r) sim(1,-2,5),
e3=1|, (1,-2,5),|(1,-2,5) =1raiz30(1,-2,5)
Assim montamos
P=l[u1;;e2;;e3r] = -tfrac1raiz6 & tfrac2raiz5 & tfrac1raiz30 tfrac2raiz6 & tfrac1raiz5 & -tfrac2raiz30 tfrac1raiz6 & 0 & tfrac5raiz30 ,
e a matriz diagonal de autovalores é
D = diag(-9,,3,,3)

Resposta

A matriz ortogonal
P = -tfrac1raiz6 & tfrac2raiz5 & tfrac1raiz30 tfrac2raiz6 & tfrac1raiz5 & -tfrac2raiz30 tfrac1raiz6 & 0 & tfrac5raiz30
diagonaliza A segundo
P^T,A,P = -9&0&00&3&00&0&3

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