Diagonalize as formas quadráticas dadas e determine os índices de positividade e nulidade. Quais são positivas? Quais são semi-positivas?
q=x^2+6 x y+8 y^2, onde V=R^2

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a forma quadrática
q(x,y)=x^2+6xy+8y^2
em V=R^2, e então determinar os índices de positividade (número de quadrados com coeficiente positivo) e de nulidade (número de quadrados com coeficiente zero). Vamos usar o método de completar quadrados e a lei de inércia de Sylvester.

Passo 2

Escrevemos q em termos de uma matriz simétrica. Se z=(x,y)^T, então
q(x,y)=z^TAz, A=1&33&8
Aqui o elemento fora da diagonal vale metade do coeficiente de xy, logo A12=A21=3.

Passo 3

Fazemos o completamento de quadrados em q:
q(x,y) =x^2+6xy+8y^2 =(x+3y)^2-y^2
Definindo a mudança de variáveis
u=x+3y, v=y,
ficamos com a forma diagonal
q(u,v)=u^2-v^2

Passo 4

Na forma diagonal q(u,v)=u^2-v^2 vemos um quadrado positivo e um quadrado negativo, e nenhum quadrado nulo. Portanto:
  • índice de positividade p=1 (um coeficiente +1),
  • índice de negatividade n=1 (um coeficiente -1),
  • índice de nulidade nu=0.

Resposta

Índice de positividade p=1, índice de nulidade nu=0 (e índice de negatividade n=1).
A forma não é definida positiva (há termo negativo) e também não é semidefinida positiva.

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