Diagonalize as formas quadráticas dadas e determine os índices de positividade e nulidade. Quais são positivas? Quais são semi-positivas?
, onde
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a forma quadrática
em
, e então determinar os índices de positividade (número de quadrados com coeficiente positivo) e de nulidade (número de quadrados com coeficiente zero). Vamos usar o método de completar quadrados e a lei de inércia de Sylvester.
Passo 2
Escrevemos
em termos de uma matriz simétrica. Se
, então
Aqui o elemento fora da diagonal vale metade do coeficiente de
, logo
.
Passo 3
Fazemos o completamento de quadrados em
:
Definindo a mudança de variáveis
ficamos com a forma diagonal
Passo 4
Na forma diagonal
vemos um quadrado positivo e um quadrado negativo, e nenhum quadrado nulo. Portanto:
- índice de positividade
(um coeficiente ), - índice de negatividade
(um coeficiente ), - índice de nulidade
.
Resposta
Índice de positividade
, índice de nulidade
(e índice de negatividade
).
A forma não é definida positiva (há termo negativo) e também não é semidefinida positiva.
A forma não é definida positiva (há termo negativo) e também não é semidefinida positiva.