Diagonalize as formas quadráticas dadas e determine os índices de positividade e nulidade. Quais são positivas? Quais são semi-positivas?
q=x^2-5 y z+w^2, onde V=R^4

Passo 1

O enunciado nos dá a forma quadrática
q(x,y,z,w)=x^2-5,y,z+w^2
em V=R^4.
Conteúdo: vamos usar a técnica de diagonalização de formas quadráticas (Teorema de Sylvester) para encontrar uma base em que q seja soma de quadrados com coeficientes reais, e daí ler os índices de positividade (número de coeficientes positivos) e nulidade (número de coeficientes zero).

Passo 2

Para montar a matriz simétrica associada, indexamos as coordenadas na ordem (x,y,z,w). Como não há termos y^2 nem z^2, e o termo cruzado é -5,y,z, a matriz é
A= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -tfrac52 & 0 0 & -tfrac52 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ,
de modo que q( v)= v^TA, v.

Passo 3

Para eliminar o termo cruzado -5,y,z, fazemos a mudança de variáveis padrão
u=y+z, v=y-z
Note que
u^2-v^2=(y+z)^2-(y-z)^2=4,y,z Longrightarrow y,z=u^2-v^24
Substituindo em q:
q = x^2+w^2-5,u^2-v^24 = x^2+w^2-54,u^2+54,v^2

Passo 4

Em coordenadas (x,u,v,w) a forma fica diagonal:
q=x^2 -tfrac54,u^2 +tfrac54,v^2 + w^2
Os coeficientes são 1,,-tfrac54,,tfrac54,,1.

Passo 5

Contamos quantos são positivos, negativos e zeros:
  • Positivos: 1,;tfrac54,;1 to 3 coeficientes.
  • Negativos: -tfrac54 to 1 coeficiente.
  • Zero: nenhum.
Logo o índice de positividade é 3 e a nulidade é 0. Como há coeficiente negativo, q é indefinida, isto é, não é positiva nem semidefinida.

Resposta

Índice de positividade = 3, nulidade = 0.
A forma é indefinida (não é positiva nem semidefinida).

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