Usando diagonalização e translação, identifique a cônica dando a equação padrão em novas coordenadas:
9 x^2-4 x y+6 y^2-10 x-20 y=5

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica em x,y
9x^2-4xy+6y^2-10x-20y=5
e pede para usar uma rotação (diagonalização) para eliminar o termo xy e depois uma translação para eliminar os termos lineares, chegando à forma canônica em novas coordenadas. O conteúdo é classificação de cônicas via mudança de variáveis: primeiro rotacionar para diagonalizar a parte quadrática, depois transladar para completar quadrados.

Passo 2

Vamos diagonalizar a forma quadrática 9x^2-4xy+6y^2. A matriz associada é
A = 9 & -2 -2 & 6
Seus autovalores vêm de
det(A-lambda I)= (9-lambda)(6-lambda)-4 = lambda^2-15lambda+50 = 0,
cuja solução é
lambda1=10, lambda2=5
Para eliminar o termo xy usamos uma rotação de ângulo theta tal que
tan 2theta = -(-4)9-6=43
Assim
cos2theta=35, sin2theta=45,
de onde
costheta = raiz1+cos2theta2 = 2raiz5, sintheta = raiz1-cos2theta2 = 1raiz5

Passo 3

Definimos a rotação
x = ucostheta - vsintheta, y = usintheta + vcostheta,
ou seja
x = 2u - vraiz5, y = u + 2vraiz5
Substituindo na cônica, o termo quadrático vira
9x^2-4xy+6y^2 = 10,u^2 + 5,v^2,
e os termos lineares
-10x-20y = -102u-vraiz5 -20u+2vraiz5 = -8raiz5,u ;-;6raiz5,v
Logo a equação em u,v é
10u^2 + 5v^2 ;-;8raiz5,u ;-;6raiz5,v ;=;5

Passo 4

Agora completamos quadrados em u e v:
10l(u^2-8raiz510ur) +5l(v^2-6raiz55vr) =5
Isso dá
10l(u-tfrac2raiz55r)^2-10l(tfrac2raiz55r)^2 +5l(v-tfrac3raiz55r)^2-5l(tfrac3raiz55r)^2 =5
Como l(tfrac2raiz55r)^2=tfrac45 e l(tfrac3raiz55r)^2=tfrac95, obtemos
10l(u-tfrac2raiz55r)^2 +5l(v-tfrac3raiz55r)^2 =5 +10!cdot!tfrac45 +5!cdot!tfrac95 =5+8+9=22
Dividindo por 22,
l(u-tfrac2raiz55r)^2,22/10, + l(v-tfrac3raiz55r)^2,22/5, =1,
i.e.
l(u-tfrac2raiz55r)^211/5 + l(v-tfrac3raiz55r)^222/5 =1

Passo 5

A equação resultante é
l(u-tfrac2raiz55r)^211/5 + l(v-tfrac3raiz55r)^222/5 =1,
que é claramente uma elipse, centrada em
l(u0,v0r)=l(tfrac2raiz55,,tfrac3raiz55r),
com semi-eixos raiz11/5 e raiz22/5.

Resposta

A cônica é uma elipse. Em coordenadas rotacionadas e transladadas
l(u,vr), com
x=tfrac2u-vraiz5,; y=tfracu+2vraiz5
e
u0=tfrac2raiz55,; v0=tfrac3raiz55,
a forma padrão é
l(u-u0r)^211/5 + l(v-v0r)^222/5 =1

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