Usando diagonalização e translação, identifique a cônica dando a equação padrão em novas coordenadas:
3 x^2-8 x y-12 y^2-30 x-64 y=0

Passo 1

O enunciado pede para, usando rotação (diagonalização) e translação, escrever a cônica
3x^2-8xy-12y^2-30x-64y=0
na sua forma canônica em novas coordenadas. Vamos:
  1. identificar o centro (translação),
  2. eliminar os termos lineares,
  3. escolher o ângulo de rotação theta para anular o termo xy,
  4. diagonalizar o termo quadrático e obter a forma padrão, classificando a cônica.

Passo 2

Para achar o centro resolvemos
partialpartial xl(3x^2-8xy-12y^2-30x-64yr)=0, partialpartial y(cdots)=0
Isto dá o sistema
6x -8y -30 =0, -8x -24y -64 =0
Da primeira: 3x-4y=15. Da segunda, dividindo por -8: x+3y=-8.
Resolvendo,
3x-4y=15, x+3y=-8 ;Longrightarrow; y=-3,;x=1
Logo o centro é (x0,y0)=(1,-3). Definimos
X = x-1, Y = y+3
para eliminar os termos lineares.

Passo 3

Em (X,Y) a equação torna-se
3(X+1)^2 -8(X+1)(Y-3) -12(Y-3)^2 -30(X+1) -64(Y-3)=0,
que, ao expandir e simplificar, dá
3X^2 -8XY -12Y^2 +81 =0 Long<=ftrightarrow 3X^2 -8XY -12Y^2 = -81

Passo 4

Para eliminar o termo XY usamos rotação
X = ucostheta - vsintheta, Y = usintheta + vcostheta,
com
tan(2theta)=BA-C =-83-(-12)=-815
Isto implica
costheta=4raiz17, sintheta=-1raiz17
Sob esta rotação, o lado esquerdo 3X^2-8XY-12Y^2 diagonaliza para
lambda1,u^2 + lambda2,v^2,
onde
lambda1=-9+raiz1452, lambda2=-9-raiz1452
Então a equação passa a ser
lambda1u^2 + lambda2v^2 = -81

Passo 5

Dividindo por -81 e reescrevendo em forma padrão de hipérbole, temos
-lambda181,u^2 ;-;lambda281,v^2 ;=;1 ;Longrightarrow; v^2 81-lambda2 ;-; u^2 81lambda1 ;=;1
Definindo
a^2=81-lambda2=1629+raiz145, b^2=81lambda1=162raiz145-9,
obtemos a forma canônica
v^2a^2 ;-;u^2b^2 ;=;1

Resposta

Em síntese, introduzimos primeiro a translação
X=x-1, Y=y+3,
depois a rotação
u=4X+Yraiz17, v=-X+4Yraiz17,
e chegamos à forma canônica de hipérbole
v^2 1629+raiz145 ;-; u^2 162raiz145-9 ;=;1
O centro da conica em (x,y) é (1,-3) e o ângulo de rotação satisfaz tan(2theta)=-8/15.

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