Usando diagonalização e translação, identifique a cônica dando a equação padrão em novas coordenadas:
Passo 1
O enunciado pede para, usando rotação (diagonalização) e translação, escrever a cônica
na sua forma canônica em novas coordenadas. Vamos:
- identificar o centro (translação),
- eliminar os termos lineares,
- escolher o ângulo de rotação
para anular o termo , - diagonalizar o termo quadrático e obter a forma padrão, classificando a cônica.
Passo 2
Para achar o centro resolvemos
Isto dá o sistema
Da primeira:
. Da segunda, dividindo por
:
.
Resolvendo,
Resolvendo,
Logo o centro é
. Definimos
para eliminar os termos lineares.
Passo 3
Em
a equação torna-se
que, ao expandir e simplificar, dá
Passo 4
Para eliminar o termo
usamos rotação
com
Isto implica
Sob esta rotação, o lado esquerdo
diagonaliza para
onde
Então a equação passa a ser
Passo 5
Dividindo por
e reescrevendo em forma padrão de hipérbole, temos
Definindo
obtemos a forma canônica
Resposta
Em síntese, introduzimos primeiro a translação
depois a rotação
e chegamos à forma canônica de hipérbole
O centro da conica em
é
e o ângulo de rotação satisfaz
.