Verificar quais dos subconjuntos seguintes são subespaços vetoriais, relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
em relação ao
R: É subespaço.
R: É subespaço.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
-
não pode estar vazio (precisa conter o vetor nulo). -
deve ser fechado sob soma de vetores. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
pertence a
. De fato, para
temos
logo
e
. Portanto,
não está vazio.
Passo 3
Agora, seja
e
dois vetores em
. Isso significa que
Considere
. Então a segunda componente de
é
que é exatamente a relação exigida para pertencer a
. Assim
, garantindo o fechamento para soma.
Passo 4
Seja
e
. Como
, o vetor
é
. Sua segunda componente satisfaz
portanto
. Isso garante o fechamento para multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
satisfaz os três critérios de subespaço vetorial em
.
Logo, é um subespaço vetorial de
.
Logo,