Verificar quais dos subconjuntos seguintes são subespaços vetoriais, relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
S=(x, y, z) / y=2 x+z em relação ao R^3
R: É subespaço.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid y = 2x + z
é subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
  1. S não pode estar vazio (precisa conter o vetor nulo).
  2. S deve ser fechado sob soma de vetores.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0) pertence a S. De fato, para (x,y,z)=(0,0,0) temos
y = 0 e 2x + z = 2cdot 0 + 0 = 0,
logo 0 = 0 e (0,0,0)in S. Portanto, S não está vazio.

Passo 3

Agora, seja u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) dois vetores em S. Isso significa que
y1 = 2x1 + z1 e y2 = 2x2 + z2
Considere u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2). Então a segunda componente de u+v é
y1 + y2 = (2x1 + z1) + (2x2 + z2) = 2(x1 + x2) + (z1 + z2),
que é exatamente a relação exigida para pertencer a S. Assim u+vin S, garantindo o fechamento para soma.

Passo 4

Seja u=(x,y,z)in S e lambdainR. Como y = 2x + z, o vetor lambda u é (lambda x,;lambda y,;lambda z). Sua segunda componente satisfaz
lambda y = lambda (2x + z) = 2(lambda x) + (lambda z),
portanto lambda uin S. Isso garante o fechamento para multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto S satisfaz os três critérios de subespaço vetorial em R^3.
Logo, S é um subespaço vetorial de R^3.

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