Diagonalize as matrizes abaixo, se possível. Os autovalores reais, em alguns casos, são dados com as matrizes:
[rrr2 & 2 & -1 1 & 3 & -1 -1 & -2 & 2] ; lambda=1,5

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 2 & 2 & -1 1 & 3 & -1 -1 & -2 & 2
sabendo que seus autovalores reais são lambda=5 e lambda=1.
Conteúdo: diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores. Precisamos encontrar um conjunto de três autovetores linearmente independentes para formar a matriz de passagem P e obter D=P^-1AP.

Passo 2

Recordando o teorema de diagonalização, uma matriz ntimes n é diagonalizável se existir base de R^n formada por n autovetores. Vamos, portanto, para cada valor de lambda resolver (A-lambda I)v=0 e extrair vetores próprios.

Passo 3

Autovetor para lambda=5.
Calculamos
A-5I = 2-5 & 2 & -1 1 & 3-5 & -1 -1 & -2 & 2-5 = -3 & 2 & -1 1 & -2 & -1 -1 & -2 & -3
Resolvendo (A-5I)(x,y,z)^T=0 obtemos, por exemplo,
x = -z, y = -z
Escolhendo z=1, um autovetor associado a lambda=5 é
v5 = -1-11

Passo 4

Autovetores para lambda=1.
Calculamos
A-I = 1 & 2 & -1 1 & 2 & -1 -1 & -2 & 1
A única equação não trivial é x + 2y - z = 0, de modo que
x = z - 2y,
e o espaço próprio é bidimensional. Podemos tomar como base dois vetores independentes:
v1 = -210, v2 = 101
Isso nos dá dois autovetores distintos para lambda=1.

Passo 5

Temos agora três autovetores linearmente independentes v5, v1, v2. Logo A é diagonalizável. Montamos
P = l[v5;v1;v2r] = -1 & -2 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D = 5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
e temos P^-1AP = D.

Resposta

P = -1 & -2 & 1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D = 5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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