Diagonalize as matrizes abaixo, se possível. Os autovalores reais, em alguns casos, são dados com as matrizes:
[lll0 & 1 & 1 2 & 1 & 2 3 & 3 & 2] ; lambda=-1,5

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar, se possível, a matriz
A = 0 & 1 & 1 2 & 1 & 2 3 & 3 & 2
O conteúdo é diagonalização de matrizes, que exige encontrar os autovalores (raízes do polinômio característico) e seus autovetores, verificar se a soma das dimensões dos espaços próprios é 3 (ordem da matriz) e, em caso positivo, montar P (colunas formadas pelos autovetores) de modo que
P^-1AP = D
seja diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = -lambda & 1 & 1 2 & 1-lambda & 2 3 & 3 & 2-lambda = -lambda^3 + 3lambda^2 +9lambda +5
Mudando de sinal para ficar no formato usual, obtemos
lambda^3 - 3lambda^2 -9lambda -5 = 0
Testando lambda=5 vemos que anula o polinômio, e factorizando por (lambda-5) sobra
(lambda-5)(lambda+1)^2 = 0
Portanto os autovalores são
lambda1 = 5, lambda2 = lambda3 = -1

Passo 3

Para resolvemos , isto é
Dessa forma, das equações obtém-se e . Um autovetor associado é

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
que reduz a . Escolhendo dois parâmetros livres, obtemos uma base de dimensão 2 no espaço próprio: por exemplo
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é , a matriz é diagonalizável.

Passo 5

Montamos
P = l[v1;v2;v3r] = 1 & -1 & -1 2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 , D = 5 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ,
de modo que P^-1AP = D.

Resposta

P = 1 & -1 & -1 2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 , D = 5 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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