Use a fatoração A=P D P^-1 para calcular A^k, na qual k representa um inteiro positivo arbitrário:
[cc a & 0 2(a-b) & b ]=[ll 1 & 0 2 & 1 ][ll a & 0 0 & b ][rr 1 & 0 -2 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência A^k de
A = a & 0[6pt] 2(a-b) & b
sabendo que ela está fatorada como
A = P,D,P^-1,
onde
P = 1 & 0[3pt]2 & 1, D = a & 0[3pt]0 & b, P^-1 = 1 & 0[3pt]-2 & 1
O conteúdo principal é diagonalização e uso de A^k=P,D^k,P^-1.]

Passo 2

Usamos a propriedade de matrizes diagonalizáveis:
A^k = l(P,D,P^-1r)^k = P,D^k,P^-1,
já que P,P^-1=I e D comuta consigo mesma.

Passo 3

Calculamos primeiro
D^k = a^k & 0[3pt]0 & b^k
e então
P,D^k = 1 & 0[3pt]2 & 1 a^k & 0[3pt]0 & b^k = a^k & 0[3pt]2,a^k & b^k
]

Passo 4

Agora multiplicamos pelo P^-1:
A^k = l(P,D^kr),P^-1 = a^k & 0[3pt]2,a^k & b^k 1 & 0[3pt]-2 & 1 = a^k & 0[6pt] 2,a^k - 2,b^k & b^k = a^k & 0[3pt] 2,(a^k-b^k) & b^k
]

Resposta

A^k = a^k & 0[3pt] 2,l(a^k-b^kr) & b^k
]

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