A matriz está na forma . Use o Teorema da Diagonalização para encontrar os autovalores de e uma base para cada autoespaço.
Passo 1
O enunciado dá a fatoração
A = P,D,P^-1
e pede os autovalores de A e uma base para cada autoespaço. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Diagonalização, que relaciona a diagonalização de uma matriz com seus autovalores e autovetores.
Passo 2
O Teorema da Diagonalização afirma que, se
A = P,D,P^-1,
então 1. os autovalores de A são exatamente as entradas da diagonal de D, 2. as colunas de P são autovetores de A, cada coluna correspondendo ao autovalor que está na mesma posição na diagonal de D.
Passo 3
Extraindo os autovalores da matriz
D = 3 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ,
vemos que as entradas da diagonal são 3, 2 e 3. Logo os autovalores de A são lambda1=3 (multiplicidade algébrica 2)
e lambda2=2 (multiplicidade algébrica 1).
Passo 4
Agora olhamos para as colunas de
P = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 1
As colunas são os vetores
v1 = (1,-1,0), v2 = (-1,1,-1), v3 = (0,-1,1)
Cada vi é autovetor de A, e vi corresponde ao autovalor que aparece na posição i de D.
Passo 5
Atribuímos os vetores aos autovalores:
Para lambda=3 (posições 1 e 3 de D), os autovetores são v1 e v3.