A matriz A está na forma P D P^-1. Use o Teorema da Diagonalização para encontrar os autovalores de A e uma base para cada autoespaço.
A & =[rrr 2 & -1 & -1 1 & 4 & 1 -1 & -1 & 2 ] & =[rrr 1 & -1 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 1 ][lll 3 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ][rrr 0 & -1 & -1 -1 & -1 & -1 -1 & -1 & 0 ]

Passo 1

O enunciado dá a fatoração
A = P,D,P^-1
e pede os autovalores de A e uma base para cada autoespaço. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Diagonalização, que relaciona a diagonalização de uma matriz com seus autovalores e autovetores.

Passo 2

O Teorema da Diagonalização afirma que, se
A = P,D,P^-1,
então
1. os autovalores de A são exatamente as entradas da diagonal de D,
2. as colunas de P são autovetores de A, cada coluna correspondendo ao autovalor que está na mesma posição na diagonal de D.

Passo 3

Extraindo os autovalores da matriz
D = 3 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ,
vemos que as entradas da diagonal são 3, 2 e 3. Logo os autovalores de A são
lambda1=3 (multiplicidade algébrica 2)
e
lambda2=2 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 4

Agora olhamos para as colunas de
P = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 1
As colunas são os vetores
v1 = (1,-1,0), v2 = (-1,1,-1), v3 = (0,-1,1)
Cada vi é autovetor de A, e vi corresponde ao autovalor que aparece na posição i de D.

Passo 5

Atribuímos os vetores aos autovalores:
  • Para lambda=3 (posições 1 e 3 de D), os autovetores são v1 e v3.
  • Para lambda=2 (posição 2 de D), o autovetor é v2.
Assim obtemos bases para os autoespaços.

Resposta

Autovalores:
lambda=3 (multiplicidade algébrica 2)
lambda=2 (multiplicidade algébrica 1)
Bases dos autoespaços:
E3:(1,-1,0),,(0,-1,1)
E2:(-1,1,-1)

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