Diagonalize as matrizes abaixo, se possível. Os autovalores reais, em alguns casos, são dados com as matrizes:
[lll2 & 0 & 0 2 & 2 & 0 2 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar, se possível, a matriz
A = 2 & 0 & 0 2 & 2 & 0 2 & 2 & 2
O conteúdo é diagonalização de matrizes: primeiro encontramos os autovalores, depois os autovetores e verificamos se há base de R^3 formada por autovetores (isto é, se a matriz é diagonalizável).

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal, todas iguais a 2. Logo, o polinômio característico é
chiA(lambda) = (lambda -2)^3,
isto é, lambda=2 com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 3

Para achar o espaço próprio de lambda=2, resolvemos
(A-2I)x = 0
Temos
A-2I = 0 & 0 & 0 2 & 0 & 0 2 & 2 & 0
Se x=(x1,x2,x3)^T, as equações são
2x1 = 0, 2x1+2x2 = 0,
logo x1=0 e x2=0, enquanto x3 é livre. Assim o espaço próprio é
E2 = (0,0,x3)^T : x3inR,
de dimensão geométrica igual a 1.

Passo 4

Para diagonalizar uma matriz ntimes n é necessário que, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) some até n. Aqui temos multiplicidade algébrica 3 mas multiplicidade geométrica apenas 1, logo não há três autovetores LI. Portanto A não é diagonalizável sobre R.

Resposta

A matriz não é diagonalizável, pois o único autovalor lambda=2 tem espaço próprio de dimensão 1, menor que a multiplicidade algébrica 3.

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