Suponha que
seja uma matriz
com três autovalores, que um dos autoespaços seja unidimensional e um dos outros seja bidimensional. É possível que
não seja diagonalizável? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
com exatamente três autovalores (todos possivelmente repetidos), cujos autoespaços têm dimensões
- um de dimensão
, - outro de dimensão
, - e falta a dimensão do terceiro.
O que precisamos usar é a relação entre multiplicidade geométrica, multiplicidade algébrica e o critério de diagonalização de uma matriz.
Passo 2
Seja
os três autovalores de
. Denotemos por
a multiplicidade geométrica de
(dimensão do respectivo autoespaço) e por
a multiplicidade algébrica de
. Sabemos que para cada
vale
e que
pois
é
.
Passo 3
Pelo enunciado temos
e
. Como há três autovalores, cada
, portanto
e sua soma é
. A única partição de
em três inteiros positivos é
. Logo
Passo 4
Para
temos
e
, isto é, sua multiplicidade geométrica iguala a algébrica. Para
e
como
e sempre
, obrigatoriamente
. Assim, a soma das dimensões dos autoespaços é
Passo 5
O teorema de diagonalização diz que uma matriz
é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas de todos os seus autovalores for igual a
. Aqui
e acabamos de obter soma igual a
, logo
possui quatro vetores próprios linearmente independentes e é diagonalizável.
Resposta
Não, não é possível que
não seja diagonalizável: pela soma das dimensões dos autoespaços igual a
, a matriz
é necessariamente diagonalizável.