Suponha que A seja uma matriz 4 times 4 com três autovalores, que um dos autoespaços seja unidimensional e um dos outros seja bidimensional. É possível que A não seja diagonalizável? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 4times4 com exatamente três autovalores (todos possivelmente repetidos), cujos autoespaços têm dimensões
  • um de dimensão 1,
  • outro de dimensão 2,
  • e falta a dimensão do terceiro.
    O que precisamos usar é a relação entre multiplicidade geométrica, multiplicidade algébrica e o critério de diagonalização de uma matriz.

Passo 2

Seja lambda1,lambda2,lambda3 os três autovalores de A. Denotemos por gi a multiplicidade geométrica de lambdai (dimensão do respectivo autoespaço) e por ai a multiplicidade algébrica de lambdai. Sabemos que para cada i vale
1 <= gi <= ai
e que
a1 + a2 + a3 = 4,
pois A é 4times4.

Passo 3

Pelo enunciado temos g1=1 e g2=2. Como há três autovalores, cada ai>=1, portanto
a1>=1, a2>=1, a3>=1,
e sua soma é 4. A única partição de 4 em três inteiros positivos é 1+2+1. Logo
(a1,a2,a3)=(1,2,1)

Passo 4

Para lambda2 temos g2=2 e a2=2, isto é, sua multiplicidade geométrica iguala a algébrica. Para lambda1 e lambda3 como a1=a3=1 e sempre gi>=1, obrigatoriamente g1=g3=1. Assim, a soma das dimensões dos autoespaços é
g1 + g2 + g3 = 1 + 2 + 1 = 4

Passo 5

O teorema de diagonalização diz que uma matriz ntimes n é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas de todos os seus autovalores for igual a n. Aqui n=4 e acabamos de obter soma igual a 4, logo A possui quatro vetores próprios linearmente independentes e é diagonalizável.

Resposta

Não, não é possível que A não seja diagonalizável: pela soma das dimensões dos autoespaços igual a 4, a matriz A é necessariamente diagonalizável.

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