Seja A=P D P^-1. Calcule A^4 :
P=[ll 5 & 7 2 & 3 ], D=[ll 2 & 0 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a diagonalização da matriz A como
A = P,D,P^-1,
com
P = 5 & 7 2 & 3, D = 2 & 0 0 & 1,
e pede A^4. Vamos usar o fato de que, se A=PDP^-1, então
A^4 = P,D^4,P^-1

Passo 2

Como D é diagonal, elevar à quarta potência basta elevar cada entrada diagonal a 4. Logo,
D^4 = 2^4 & 0 0 & 1^4 = 16 & 0 0 & 1

Passo 3

Vamos calcular P^-1. Primeiro o determinante de P:
det(P) = 5cdot3 - 7cdot2 = 15 - 14 = 1
Como det(P)=1, temos
P^-1 = 11 3 & -7 -2 & 5 = 3 & -7 -2 & 5

Passo 4

Agora computamos o produto intermediário P,D^4:
P,D^4 = 5 & 7 2 & 3 16 & 0 0 & 1 = 5cdot16 + 7cdot0 & 5cdot0 + 7cdot1 2cdot16 + 3cdot0 & 2cdot0 + 3cdot1 = 80 & 7 32 & 3

Passo 5

Finalmente, multiplicamos pelo inverso P^-1 para obter A^4:
A^4 = l(P,D^4r),P^-1 = 80 & 7 32 & 3 3 & -7 -2 & 5
Calculando cada entrada:
(A^4)11 &= 80cdot3 + 7cdot(-2) = 240 - 14 = 226, (A^4)12 &= 80cdot(-7) + 7cdot5 = -560 + 35 = -525, (A^4)21 &= 32cdot3 + 3cdot(-2) = 96 - 6 = 90, (A^4)22 &= 32cdot(-7) + 3cdot5 = -224 + 15 = -209

Resposta

A^4 = 226 & -525 90 & -209

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