Diagonalize as matrizes abaixo, se possível. Os autovalores reais, em alguns casos, são dados com as matrizes:
[rr2 & -1 1 & 4]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar, se possível, a matriz
A = 2 & -1 1 & 4
Para diagonalizar uma matriz de ordem 2 precisamos encontrar dois autovalores (contando multiplicidades algébricas) e dois autovetores linearmente independentes. A diagonalização ocorre se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual a 2.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I). Temos
A - lambda I = 2-lambda & -1 [6pt] 1 & 4-lambda
e
det(A - lambda I) = (2-lambda)(4-lambda) - (-1)cdot1 = (2-lambda)(4-lambda) + 1
Expandindo,
(2-lambda)(4-lambda) + 1 = 8 - 2lambda - 4lambda + lambda^2 + 1 = lambda^2 - 6lambda + 9
]

Passo 3

Resolvendo lambda^2 -6lambda +9 =0 obtemos
lambda = 6 pm raiz(-6)^2 -4cdot1cdot92 = 6 pm raiz36 -362 = 62 = 3
Portanto lambda=3 é o único autovalor, de multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para encontrar os autovetores, resolvemos
então o sistema é
Isso dá a condição .
]

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica ( 1) é menor que a multiplicidade algébrica ( 2), não conseguimos dois autovetores independentes. Logo A não é diagonalizável sobre R.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável.

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