Diagonalize as matrizes abaixo, se possível. Os autovalores reais, em alguns casos, são dados com as matrizes:
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 0 & -1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & -1 & 0
sabendo que seus autovalores reais são lambda=0 e lambda=1.
O conteúdo é diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores; vamos precisar achar a multiplicidade algébrica de cada autovalor e, em seguida, encontrar bases para os respectivos autespaços.
Passo 2
Vamos determinar as multiplicidades algébricas. Como tr(A)=0+2+0=2 e os autovalores dados são 0 e 1, a única forma de somar para 2 é
0 + 1 + 1 = 2,
logo lambda=0 tem multiplicidade algébrica 1 e lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Agora achamos o autovetor de
Escrevendo o sistema:
da terceira equação vem . Substituindo na segunda, ela se satisfaz identicamente. Tomando , obtemos o autovetor
Passo 4
Em seguida, achamos os autovetores de lambda=1, ou seja, resolvemos
(A - I)x = 0
Isso dá o sistema único
- x - y - z = 0 Long<=ftrightarrow x+y+z=0,
que tem dimensão 2. Duas escolhas independentes são, por exemplo,
v1 = 1-10, v2 = 10-1
Passo 5
Como a soma das dimensões dos autespaços é 1+2=3, a matriz é diagonalizável. Tomamos a matriz de passagem P cujas colunas são (v0,v1,v2) e obtemos