Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo
(j) [llll1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar ortogonalmente a matriz
M= 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1
Trata-se de uma matriz simétrica de 4times4, então podemos aplicar o Teorema Espectral: encontrar autovalores reais e um conjunto de autovetores ortonormais.

Passo 2

Observe que é bloco-diagonal com dois blocos idênticos
Calculamos os autovalores de resolvendo
logo (multiplicidade 1) e (multiplicidade 1). Como , seus autovalores são

Passo 3

Agora achamos autovetores de M. No primeiro bloco ( x1,x2):
para lambda=2 um autovetor é (1,1,0,0),
para lambda=0 um autovetor é (1,-1,0,0).
No segundo bloco ( x3,x4):
para lambda=2 um autovetor é (0,0,1,1),
para lambda=0 um autovetor é (0,0,1,-1).

Passo 4

Ortonormalizamos dividindo cada vetor por raiz2. Definimos então
v1=1raiz2(1,1,0,0),; v2=1raiz2(0,0,1,1),; v3=1raiz2(1,-1,0,0),; v4=1raiz2(0,0,1,-1)
Verifica-se facilmente que v1,v2,v3,v4 é base ortonormal de R^4 e que
M v1=2v1,;M v2=2v2,;M v3=0,v3,;M v4=0,v4

Passo 5

Montamos a matriz ortogonal cujas colunas são os . Em blocos:
e a matriz diagonal
Pelo Teorema Espectral, .

Resposta

A diagonalização ortogonal de M é
P^T,M,P=D,
com
P= 1raiz2&0&1raiz2&0 1raiz2&0&-1raiz2&0 0&1raiz2&0&1raiz2 0&1raiz2&0&-1raiz2 , D= 2&0&0&0 0&2&0&0 0&0&0&0 0&0&0&0

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