Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo (c) [ll1 & 3 3 & 2] Passo 1O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz simétrica A = 1 & 3 3 & 2 Para isso, vamos calcular os autovalores de A, em seguida os autovetores, verificar que são ortogonais, normalizá-los e montar a matriz ortogonal Q e a diagonal D. Passo 2Calcular o polinômio característico: det(A - lambda I) = det1-lambda & 3 3 & 2-lambda = (1-lambda)(2-lambda)-9 = lambda^2 -3lambda -7 As raízes são lambda1,2 =3pmraiz9+282 =3pmraiz372 Passo 3Buscar um autovetor para lambda1=tfrac3+raiz372. Da equação (1-lambda1)x+3y=0 vem xy=3lambda1-1 =3tfrac3+raiz372-1 =61+raiz37 =raiz37-16 Escolhendo y=6, um autovetor correspondente é v1=raiz37-1 6 Para lambda2=tfrac3-raiz372 obtemos analogamente v2=-(raiz37+1) 6 Passo 4Verificamos a ortogonalidade: v1cdot v2 =(raiz37-1)l(-(raiz37+1)r)+6cdot6 =-(37-1)+36=0 Passo 5Normalizamos v1 e v2. Seus comprimentos são |v1|=raiz(raiz37-1)^2+6^2 =raiz74-2raiz37, |v2|=raiz(raiz37+1)^2+6^2 =raiz74+2raiz37 Assim u1=1raiz74-2raiz37raiz37-16, u2=1raiz74+2raiz37-(raiz37+1)6 Então a matriz ortogonal Q e a diagonal D ficam: Q = raiz37-1raiz74-2raiz37 & -(raiz37+1)raiz74+2raiz37[0.8em] 6raiz74-2raiz37 & 6raiz74+2raiz37 , D = 3+raiz372 & 0[0.5em] 0 & 3-raiz372 , com Q^TQ=I e Q^TAQ=D.] Resposta Q = raiz37-1raiz74-2raiz37 & -(raiz37+1)raiz74+2raiz37[0.8em] 6raiz74-2raiz37 & 6raiz74+2raiz37 , D = 3+raiz372 & 0[0.5em] 0 & 3-raiz372 ] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosClassifique as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas. Se verdadeira, justifique. Se falsa, explique ou dê um exemplo que invalide o enunciado e tente consertá-la: (-A)(-B)=-(A B). Seja a matriz [\mathbf{A}=\left[a_{i j}\right]_{2 \times 2}) definida por: á Escreva explicitamente a matriz e . Resolva e classifique os sistemas lineares a seguir utilizando o método de Gauss-Jordan. (a) x+y+2 z & =8, -x-2 y+3 z & =1, 3 x-7 y+4 z & =10 Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^2 : c) lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==3 x1 y1+2 x2 y1+2 x1 y2+3 x2 y2;