Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo
(c) [ll1 & 3 3 & 2]

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz simétrica
A = 1 & 3 3 & 2
Para isso, vamos calcular os autovalores de A, em seguida os autovetores, verificar que são ortogonais, normalizá-los e montar a matriz ortogonal Q e a diagonal D.

Passo 2

Calcular o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det1-lambda & 3 3 & 2-lambda = (1-lambda)(2-lambda)-9 = lambda^2 -3lambda -7
As raízes são
lambda1,2 =3pmraiz9+282 =3pmraiz372

Passo 3

Buscar um autovetor para lambda1=tfrac3+raiz372. Da equação
(1-lambda1)x+3y=0 vem
xy=3lambda1-1 =3tfrac3+raiz372-1 =61+raiz37 =raiz37-16
Escolhendo y=6, um autovetor correspondente é
v1=raiz37-1 6
Para lambda2=tfrac3-raiz372 obtemos analogamente
v2=-(raiz37+1) 6

Passo 4

Verificamos a ortogonalidade:
v1cdot v2 =(raiz37-1)l(-(raiz37+1)r)+6cdot6 =-(37-1)+36=0

Passo 5

Normalizamos v1 e v2. Seus comprimentos são
|v1|=raiz(raiz37-1)^2+6^2 =raiz74-2raiz37, |v2|=raiz(raiz37+1)^2+6^2 =raiz74+2raiz37
Assim
u1=1raiz74-2raiz37raiz37-16, u2=1raiz74+2raiz37-(raiz37+1)6
Então a matriz ortogonal Q e a diagonal D ficam:
Q = raiz37-1raiz74-2raiz37 & -(raiz37+1)raiz74+2raiz37[0.8em] 6raiz74-2raiz37 & 6raiz74+2raiz37 , D = 3+raiz372 & 0[0.5em] 0 & 3-raiz372 ,
com Q^TQ=I e Q^TAQ=D.]

Resposta

Q = raiz37-1raiz74-2raiz37 & -(raiz37+1)raiz74+2raiz37[0.8em] 6raiz74-2raiz37 & 6raiz74+2raiz37 , D = 3+raiz372 & 0[0.5em] 0 & 3-raiz372 ]

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