Seja a matriz [\mathbf{A}=\left[a_{i j}\right]_{2 \times 2}) definida por:
á
Escreva explicitamente a matriz e .

Passo 1

O enunciado pede para montar explicitamente a matriz
Em seguida, temos que calcular as potências . Para isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes: se e são ambas , então

Passo 2

Primeiro, encontramos os quatro elementos de A:
  • Para i=j=1 e i=j=2, vale a11=1 e a22=1.
  • Para i=1,j=2, a12=(-1)^1cdot2=-2.
  • Para i=2,j=1, a21=(-1)^2cdot1=1.
    Logo,
A = 1 & -2 1 & 1

Passo 3

Agora calculamos A^2=A,A. Usando a definição:
(A^2)11 =1cdot1+(-2)cdot1=1-2=-1, (A^2)12 =1cdot(-2)+(-2)cdot1=-2-2=-4,
(A^2)21 =1cdot1+1cdot1=1+1=2, (A^2)22 =1cdot(-2)+1cdot1=-2+1=-1
Portanto,
A^2 = -1 & -4 2 & -1

Passo 4

Por fim, A^3=A^2,A. Calculamos cada entrada:
(A^3)11 =(-1)cdot1+(-4)cdot1=-1-4=-5, (A^3)12 =(-1)cdot(-2)+(-4)cdot1=2-4=-2,
(A^3)21 =2cdot1+(-1)cdot1=2-1=1, (A^3)22 =2cdot(-2)+(-1)cdot1=-4-1=-5
Logo,
A^3 = -5 & -2 1 & -5

Resposta

A = 1 & -2 1 & 1 , A^2 = -1 & -4 2 & -1 , A^3 = -5 & -2 1 & -5

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