Resolva e classifique os sistemas lineares a seguir utilizando o método de Gauss-Jordan.
(a) x+y+2 z & =8, -x-2 y+3 z & =1, 3 x-7 y+4 z & =10

Passo 1

O enunciado pede para resolver e classificar o sistema linear
x + y + 2z = 8, -,x - 2y + 3z = 1, 3x - 7y + 4z = 10
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para chegar à forma reduzida por linhas e ler a solução, verificando se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 -1 & -2 & 3 & 1 3 & -7 & 4 & 10 ]
Escolhemos como pivô inicial o elemento 1 na posição (1,1).

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo do pivô na coluna 1:
  • R2 R2 + R1 [0;,-1;,5;mid,9].
  • R3 R3 - 3R1 [0;,-10;,-2;mid,-14].
A matriz fica
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 0 & -1 & 5 & 9 0 & -10 & -2 & -14 ]

Passo 4

Tornamos pivô o elemento -1 em (2,2), normalizando R2:
R2 -1cdot R2 ;Longrightarrow; [0;,1;,-5;mid,-9]
Em seguida eliminamos os demais elementos na coluna 2:
  • R1 R1 - R2 [1;,0;,7;mid,17].
  • R3 R3 + 10R2 [0;,0;,-52;mid,-104].
A matriz fica
[ccc|c 1 & 0 & 7 & 17 0 & 1 & -5 & -9 0 & 0 & -52 & -104 ]

Passo 5

Normalizamos o pivô em (3,3) dividindo R3 por -52:
R3 -tfrac152R3 ;Longrightarrow; [0;,0;,1;mid,2]
Eliminamos então as entradas de z nas linhas 1 e 2:
  • R1 R1 - 7R3 [1;,0;,0;mid,3].
  • R2 R2 + 5R3 [0;,1;,0;mid,1].
Chegamos à forma reduzida
[ccc|c 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2 ],
que corresponde ao sistema x=3, y=1, z=2.

Resposta

O sistema é possível e determinado, e a solução é
x=3, y=1, z=2

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