Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em :
c) ;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
define um produto interno em . Para isso precisamos checar que é bilinear, simétrica e positiva-definida. A bilinearidade segue da forma como está somada, então focamos em simetria e positividade.
Passo 2
Vamos reescrever o produto em forma matricial. Se e , então
onde
Passo 3
Verificamos a simetria: claramente
A^T = 3 & 2 2 & 3 = A,
portanto lang<= x,yrang<= = lang<= y,xrang<=.
Passo 4
Para garantir positividade, usamos o critério dos menores principais:
Primeiro menor principal:
D1 = 3 > 0
Segundo menor principal (determinante de A):
D2 = det(A) = 3cdot3 - 2cdot2 = 9 - 4 = 5 > 0
Como todos os menores principais são positivos, A é positiva-definida e logo lang<= x,xrang<= > 0 para todo xneq 0.
Resposta
Sim, a forma dada define um produto interno em R^2.