Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^2 :
c) lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==3 x1 y1+2 x2 y1+2 x1 y2+3 x2 y2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= (x1,x2),,(y1,y2)rang<= =3x1y1+2x2y1+2x1y2+3x2y2
define um produto interno em R^2. Para isso precisamos checar que é bilinear, simétrica e positiva-definida. A bilinearidade segue da forma como está somada, então focamos em simetria e positividade.

Passo 2

Vamos reescrever o produto em forma matricial. Se x=(x1,x2)^T e y=(y1,y2)^T, então
lang<= x,yrang<= = x^TA,y,
onde
A = 3 & 2 2 & 3

Passo 3

Verificamos a simetria: claramente
A^T = 3 & 2 2 & 3 = A,
portanto lang<= x,yrang<= = lang<= y,xrang<=.

Passo 4

Para garantir positividade, usamos o critério dos menores principais:
  1. Primeiro menor principal:
D1 = 3 > 0
  1. Segundo menor principal (determinante de A):
D2 = det(A) = 3cdot3 - 2cdot2 = 9 - 4 = 5 > 0
Como todos os menores principais são positivos, A é positiva-definida e logo
lang<= x,xrang<= > 0 para todo xneq 0.

Resposta

Sim, a forma dada define um produto interno em R^2.

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