Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em
:
d)
;
d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
define um produto interno em
. Para isso vamos usar a definição de produto interno, que exige:
- Bilinearidade no primeiro argumento (e, por simetria, também no segundo).
- Simetria:
para todo . - Definida positiva:
sempre que .
Passo 2
Relembrando cada condição:
- Bilinearidade em
: para todo e escalar , deve valer
e
. - Simetria:
. - Definida positiva:
sempre que .
Passo 3
Verificando a simetria: tome
Então
enquanto
Como
, falha a simetria e portanto não é produto interno.
Passo 4
Além disso, note que mesmo a positividade já falha: para
temos
Um produto interno exige
para todo
, mas aqui ficou negativo.
Resposta
A aplicação dada em (d) não define um produto interno em
.