Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^3 :
d) lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==x3 x1 y1+x2 y1;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= (x1,x2,x3),(y1,y2,y3)rang<= ;=;x3x1y1+x2y1
define um produto interno em R^3. Para isso vamos usar a definição de produto interno, que exige:
  1. Bilinearidade no primeiro argumento (e, por simetria, também no segundo).
  2. Simetria: lang<= x,yrang<= =lang<= y,xrang<= para todo x,y.
  3. Definida positiva: lang<= x,xrang<=>0 sempre que xneq0.

Passo 2

Relembrando cada condição:
  • Bilinearidade em x: para todo x,x',y e escalar alpha, deve valer
    lang<= x+x',yrang<==lang<= x,yrang<=+lang<= x',yrang<= e
    lang<= alpha x,yrang<==alphalang<= x,yrang<=.
  • Simetria: lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<=.
  • Definida positiva: lang<= x,xrang<=>0 sempre que xneq(0,0,0).

Passo 3

Verificando a simetria: tome
x=(1,0,0), y=(1,1,0)
Então
lang<= x,yrang<= = x3x1y1+x2y1 =0cdot1cdot1+0cdot1 =0,
enquanto
lang<= y,xrang<= = y3y1x1+y2x1 =0cdot1cdot1+1cdot1 =1
Como 0neq1, falha a simetria e portanto não é produto interno.

Passo 4

Além disso, note que mesmo a positividade já falha: para
x=(1,-3,0)
temos
lang<= x,xrang<= = x3x1^2+x2x1 =0cdot1^2+(-3)cdot1 =-3<0
Um produto interno exige lang<= x,xrang<=>0 para todo xneq0, mas aqui ficou negativo.

Resposta

A aplicação dada em (d) não define um produto interno em R^3.

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