O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz
com . Como é simétrica, sabemos que existe uma base ortonormal de autovetores. Para chegar à forma diagonal ortogonal, precisamos encontrar os autovalores de e, em seguida, construir autovetores ortonormais associados.
Passo 2
Vamos achar os autovalores de resolvendo
Isso dá a equação
Passo 3
Agora determinamos os autovetores associados.
Para , resolvemos
o que implica , ou seja . Um autovetor conveniente é
Para , fazemos
que leva a , ou . Podemos escolher
Passo 4
Para obter uma matriz ortogonal de autovetores, normalizamos e . Como , definimos
Passo 5
Montamos a matriz ortogonal cujas colunas são e :
Então, pela propriedade de simetria de M, temos
P^T M P = a+b & 0 0 & a-b
Resposta
P = 1raiz2 1 & 1 1 & -1, P^T M P = a+b & 0 0 & a-b