Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo
(g) [lla & b b & a], b>0

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz
M=a & b b & a,
com b>0. Como M é simétrica, sabemos que existe uma base ortonormal de autovetores. Para chegar à forma diagonal ortogonal, precisamos encontrar os autovalores de M e, em seguida, construir autovetores ortonormais associados.

Passo 2

Vamos achar os autovalores lambda de M resolvendo
det(M - lambda I) =det!a-lambda & b b & a-lambda =(a-lambda)^2 - b^2 = 0
Isso dá a equação
(a-lambda)^2 = b^2 Longrightarrow lambda = a pm b

Passo 3

Agora determinamos os autovetores associados.
Para , resolvemos
o que implica , ou seja . Um autovetor conveniente é
Para , fazemos
que leva a , ou . Podemos escolher

Passo 4

Para obter uma matriz ortogonal de autovetores, normalizamos v1 e v2. Como |v1|=|v2|=raiz2, definimos
e1 = 1raiz211, e2 = 1raiz21-1

Passo 5

Montamos a matriz ortogonal P cujas colunas são e1 e e2:
P = e1 & e2 = 1raiz2 1 & 1 1 & -1
Então, pela propriedade de simetria de M, temos
P^T M P = a+b & 0 0 & a-b

Resposta

P = 1raiz2 1 & 1 1 & -1, P^T M P = a+b & 0 0 & a-b

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