Seja
um espaço vetorial munido de um produto interno
. Mostre que se
é um conjunto ortogonal de vetores não-nulos, então
é LI.
Dica: Se
, então
para cada
. Desenvolva esta igualdade.
Dica: Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que um conjunto ortogonal de vetores não-nulos em um espaço vetorial com produto interno é linearmente independente. Em termos concretos, temos um espaço
com produto interno
e um conjunto
tal que
sempre que
e
para todo
. Queremos usar a definição de independência linear e a ortogonalidade para concluir que a única combinação linear que dá zero é a trivial.
Passo 2
Suponha, por contradição à independência, que existam escalares
tais que
Para cada índice
, tome o produto interno dessa soma com
:
Passo 3
Pela linearidade do produto interno no primeiro argumento,
Como
é ortogonal,
sempre que
. Assim todos os termos com
somam zero, restando apenas
Passo 4
Cada
é não-nulo, logo
Da igualdade
segue que
Isso vale para todo
.
Passo 5
Obtivemos que todos os
são zero, ou seja, a única combinação linear que produz o vetor zero é a trivial. Pela definição, isso significa que
é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.