Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Mostre que se S= v1, v2, ldots, vn é um conjunto ortogonal de vetores não-nulos, então S é LI.
Dica: Se alpha1 v1+alpha2 v2+ldots+alphan vn=0, então lang<=alpha1 v1+alpha2 v2+ldots+alphan vn, virang<==0 para cada i=1, ldots, n. Desenvolva esta igualdade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que um conjunto ortogonal de vetores não-nulos em um espaço vetorial com produto interno é linearmente independente. Em termos concretos, temos um espaço V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e um conjunto
S = v1,v2,dots,vn
tal que lang<= vi,vjrang<==0 sempre que ineq j e vineq0 para todo i. Queremos usar a definição de independência linear e a ortogonalidade para concluir que a única combinação linear que dá zero é a trivial.

Passo 2

Suponha, por contradição à independência, que existam escalares alpha1,alpha2,dots,alphan tais que
alpha1 v1 + alpha2 v2 + dots + alphan vn = 0
Para cada índice iin1,dots,n, tome o produto interno dessa soma com vi:
lang<= alpha1 v1 + alpha2 v2 + dots + alphan vn,;virang<= ;=;0

Passo 3

Pela linearidade do produto interno no primeiro argumento,
alpha1lang<= v1,virang<= ;+;alpha2lang<= v2,virang<=;+;cdots+;alphanlang<= vn,virang<= ;=;0
Como S é ortogonal, lang<= vj,virang<==0 sempre que jneq i. Assim todos os termos com jneq i somam zero, restando apenas
alphai,lang<= vi,virang<= ;=;0

Passo 4

Cada vi é não-nulo, logo
lang<= vi,virang<= = |vi|^2 > 0
Da igualdade alphai,|vi|^2=0 segue que
alphai = 0
Isso vale para todo i=1,2,dots,n.

Passo 5

Obtivemos que todos os alphai são zero, ou seja, a única combinação linear que produz o vetor zero é a trivial. Pela definição, isso significa que S é linearmente independente.

Resposta

O conjunto S=v1,v2,dots,vn é linearmente independente.

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