Resolva e classifique os sistemas lineares a seguir utilizando o método de Gauss-Jordan: 2 x+2 y+2 z & =0, -2 x+5 y+2 z & =1, 8 x+y+4 z & =-1

Passo 1

Resumindo, temos o sistema
2x+2y+2z=0, -2x+5y+2z=1, 8x+y+4z=-1,
que queremos resolver pelo método de Gauss–Jordan para encontrar todas as soluções e classificar o sistema (única, infinita ou impossível).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema e lembramos que o objetivo do Gauss–Jordan é reduzi-la à forma escalonada reduzida, com pivôs iguais a 1 e zeros acima e abaixo de cada pivô:
[ccc|c 2 & 2 & 2 & 0 -2 & 5 & 2 & 1 8 & 1 & 4 & -1 ]

Passo 3

Primeiro, pivotamos na posição (1,1). Dividimos a primeira linha por 2 para obter pivô igual a 1:
R1 tfrac12R1 Longrightarrow [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 -2 & 5 & 2 & 1 8 & 1 & 4 & -1 ]

Passo 4

Eliminamos o termo x das linhas 2 e 3 usando a linha 1:
R2 R2 + 2R1, R3 R3 - 8R1
resultando em
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 7 & 4 & 1 0 & -7 & -4 & -1 ]

Passo 5

Agora pivotamos na posição (2,2). Dividimos a segunda linha por 7 e, em seguida, eliminamos o y das demais linhas:
R2 tfrac17R2 Longrightarrow [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & tfrac47 & tfrac17 0 & -7 & -4 & -1 ],
R1 R1 - R2, R3 R3 + 7R2 Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & tfrac37 & -tfrac17 0 & 1 & tfrac47 & tfrac17 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 6

A forma reduzida mostra que a terceira linha ficou toda zero, indicando que
Substituindo (z=t] obtemos

Passo 7

Como aparece um parâmetro livre t, o sistema tem infinitas soluções (sistema indeterminado).

Resposta

As soluções são
x=-tfrac1+3t7, y=tfrac1-4t7, z=t, tinR,
e o sistema é indeterminado (infinitas soluções).

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