Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^2 :
e) lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==x2 y1+x1 y2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= ;=; x2y1+x1y2
é um produto interno em R^2. Para isso precisamos checar as três propriedades básicas de um produto interno:
  1. Simetria
  2. Bilinearidade no primeiro argumento
  3. Positividade definida

Passo 2

Verificação da simetria. Para vetores x=(x1,x2) e y=(y1,y2) temos
lang<= x,yrang<= = x2y1+x1y2,
lang<= y,xrang<= = y2x1+y1x2 = x1y2+x2y1
Como x2y1+x1y2=x1y2+x2y1, a simetria lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<= está satisfeita.

Passo 3

Verificação da bilinearidade no primeiro argumento. Dados u,v,winR^2 e escalar alpha, escrevendo u=(u1,u2), v=(v1,v2), w=(w1,w2):
lang<= u+v,wrang<= = (u2+v2)w1 + (u1+v1)w2 = u2w1+u1w2 + v2w1+v1w2 = lang<= u,wrang<= + lang<= v,wrang<=,
lang<= alpha u,vrang<= = (alpha u2)v1 + (alpha u1)v2 = alpha(u2v1+u1v2) = alpha,lang<= u,vrang<=
Logo, a bilinearidade está ok.

Passo 4

Verificação da positividade definida. Para x=(x1,x2)neq(0,0) calculamos
lang<= x,xrang<= = x2x1 + x1x2 = 2,x1x2
Esse valor nem sempre é positivo para todo xneq0. Por exemplo, para x=(1,0) vem
lang<= (1,0),(1,0)rang<= = 2cdot1cdot0 = 0,
embora (1,0)neq(0,0). Além disso, se x1 e x2 têm sinais opostos, o produto fica negativo.

Resposta

A aplicação não define um produto interno, pois falha na positividade definida.

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