Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em
:
e)
;
e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é um produto interno em
. Para isso precisamos checar as três propriedades básicas de um produto interno:
- Simetria
- Bilinearidade no primeiro argumento
- Positividade definida
Passo 2
Verificação da simetria. Para vetores
e
temos
Como
, a simetria
está satisfeita.
Passo 3
Verificação da bilinearidade no primeiro argumento. Dados
e escalar
, escrevendo
,
,
:
Logo, a bilinearidade está ok.
Passo 4
Verificação da positividade definida. Para
calculamos
Esse valor nem sempre é positivo para todo
. Por exemplo, para
vem
embora
. Além disso, se
e
têm sinais opostos, o produto fica negativo.
Resposta
A aplicação não define um produto interno, pois falha na positividade definida.