Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^3 :
a) lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==x1 y1+2 x1 y2+x2 y2+3 x1 y3+x2 y3+x3 y3;

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação
lang<=cdot,cdotrang<=:R^3timesR^3toR
definida por
lang<=(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)rang<= = x1y1 + 2x1y2 + x2y2 + 3x1y3 + x2y3 + x3y3
Queremos verificar se isso é de fato um produto interno, ou seja, satisfaz as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Bilinearidade
Como a forma é dada por soma de termos do tipo constante vezes xi yj, ela é claramente linear em cada argumento separadamente. Portanto, a bilinearidade (linearidade em cada componente) está garantida.

Passo 3

Simetria
Para ser simétrica, precisaríamos ter
lang<= x,yrang<= = lang<= y,xrang<= forall,x,yinR^3
Mas, por exemplo, tomando x=(1,0,0) e y=(0,1,0) obtemos
lang<= x,yrang<= =1cdot0 + 2cdot1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2,
enquanto
lang<= y,xrang<= =0cdot1 + 2cdot0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Logo lang<= x,yrang<=neqlang<= y,xrang<=, ou seja, falta a propriedade de simetria.

Passo 4

Conclusão
Como não é simétrica, já falha uma das condições essenciais de produto interno. Não precisamos sequer checar positividade definida.

Resposta

O produto dado em (a) não define um produto interno em R^3.

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