Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em
:
a)
;
a)
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação
definida por
Queremos verificar se isso é de fato um produto interno, ou seja, satisfaz as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Bilinearidade
Como a forma é dada por soma de termos do tipo constante vezes , ela é claramente linear em cada argumento separadamente. Portanto, a bilinearidade (linearidade em cada componente) está garantida.
Como a forma é dada por soma de termos do tipo constante vezes
Passo 3
Simetria
Para ser simétrica, precisaríamos ter
Para ser simétrica, precisaríamos ter
Mas, por exemplo, tomando
e
obtemos
enquanto
Logo
, ou seja, falta a propriedade de simetria.
Passo 4
Conclusão
Como não é simétrica, já falha uma das condições essenciais de produto interno. Não precisamos sequer checar positividade definida.
Como não é simétrica, já falha uma das condições essenciais de produto interno. Não precisamos sequer checar positividade definida.
Resposta
O produto dado em (a) não define um produto interno em
.