Diagonalize os seguintes operadores lineares e encontre a base onde a matriz diagonal aparece: .
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear T cuja matriz em certa base é
[T] = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1
e pede para diagonalizá-lo, ou seja, achar uma base de autovetores em que a matriz de T seja diagonal. Vamos usar o método padrão de calcular o polinômio característico, encontrar os autovalores e depois os autovetores correspondentes.
=0.
)
Dessas equações obtemos z = x e y = x. Um autovetor associado é
v2 = 111
Passo 5
Para lambda1 = 1 resolvemos
([
T] - I
[ T] - I = 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 1 & 0 xyz =0,
=0,
)
que leva a y = -2z e x = z. Um autovetor conveniente é
v1 = 1-21
Passo 6
Para lambda3 = -1 resolvemos
([
T] + I
[ T] + I = 2 & 1 & 2 1 & 3 & 1 2 & 1 & 2 xyz =0,
=0,
)
que dá x = -z e y = 0. Tomando z=1, um autovetor é
v3 = -101
Passo 7
Os três autovetores v1,v2,v3 são linearmente independentes, portanto formam uma base na qual a matriz de T fica diagonal. Na ordem v1,v2,v3, a matriz diagonal é