Diagonalize os seguintes operadores lineares e encontre a base onde a matriz diagonal aparece:
[T]=[lll1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1].

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T cuja matriz em certa base é
[T] = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1
e pede para diagonalizá-lo, ou seja, achar uma base de autovetores em que a matriz de T seja diagonal. Vamos usar o método padrão de calcular o polinômio característico, encontrar os autovalores e depois os autovetores correspondentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det([T]-lambda I) =det 1-lambda & 1 & 2 1 & 2-lambda & 1 2 & 1 & 1-lambda
Desenvolvendo por cofactores e simplificando, obtemos
-lambda^3 +4lambda^2 +lambda -4 = 0
ou, multiplicando por -1,
lambda^3 -4lambda^2 -lambda +4 = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio
lambda^3 -4lambda^2 -lambda +4 = (lambda-1)(lambda^2 -3lambda -4),
e em seguida
lambda^2 -3lambda -4 = (lambda-4)(lambda+1)
Logo os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 4, lambda3 = -1

Passo 4

Para lambda2 = 4 resolvemos
([
T] - 4I

[ T] - 4I = -3 & 1 & 2 1 & -2 & 1 2 & 1 & -3 xyz =0

=0.
)
Dessas equações obtemos z = x e y = x. Um autovetor associado é
v2 = 111

Passo 5

Para lambda1 = 1 resolvemos
([
T] - I

[ T] - I = 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 1 & 0 xyz =0,

=0,
)
que leva a y = -2z e x = z. Um autovetor conveniente é
v1 = 1-21

Passo 6

Para lambda3 = -1 resolvemos
([
T] + I

[ T] + I = 2 & 1 & 2 1 & 3 & 1 2 & 1 & 2 xyz =0,

=0,
)
que dá x = -z e y = 0. Tomando z=1, um autovetor é
v3 = -101

Passo 7

Os três autovetores v1,v2,v3 são linearmente independentes, portanto formam uma base na qual a matriz de T fica diagonal. Na ordem v1,v2,v3, a matriz diagonal é
diag(1,4,-1)

Resposta

Uma base de autovetores que diagonaliza [T] é
l,1-21, 111, -101r,
em que a matriz de T é
1 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & -1

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