Diagonalize os seguintes operadores lineares e encontre a base onde a matriz diagonal aparece:
[T]=[lll3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3],

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T cuja matriz no sistema canônico é \r
3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3\r
e pede que a diagonalizemos, ou seja, que encontremos os autovalores, os autovetores e a base em que a matriz fica diagonal.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico \r
\r
Calculando essa determinante por expansão, chega-se a \r
\r
ou seja, \r

Passo 3

Testando raízes inteiras, verifica-se que lambda=-1 é raiz. Fazendo a divisão por lambda+1, obtemos \r
(lambda+1)(lambda^2 -7lambda -8)=0 \r
A equação quadrática dá \r
lambda = 7pmraiz49+322=7pm92, \r
logo os autovalores são \r
lambda1 = 8, lambda2 = -1, lambda3 = -1

Passo 4

Para , resolvemos , isto é,\r
\r
Dessa forma chega-se a e . Tomando , obtemos o autovetor\r

Passo 5

Para , resolvemos , isto é,\r
\r
que leva à condição . Assim o espaço próprio tem dimensão 2 e vetor geral\r
\r
Escolhendo e , obtemos dois autovetores independentes:\r

Passo 6

Reunindo tudo, em relação à base\r
\r
a matriz de T torna-se diagonal, com entradas iguais aos autovalores na mesma ordem.

Resposta

Em relação à base \r
(2,1,2),,(1,-2,0),,(1,0,-1) \r
a matriz de T é \r
diag(8,,-1,,-1)

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