Diagonalize os seguintes operadores lineares e encontre a base onde a matriz diagonal aparece:
,
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
T cuja matriz no sistema canônico é \r
e pede que a diagonalizemos, ou seja, que encontremos os autovalores, os autovetores e a base em que a matriz fica diagonal.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico \r
\r
Calculando essa determinante por expansão, chega-se a \r
ou seja, \r
Passo 3
Testando raízes inteiras, verifica-se que
lambda=-1 é raiz. Fazendo a divisão por
lambda+1 , obtemos \r
A equação quadrática dá \r
logo os autovalores são \r
Passo 4
Para
, resolvemos
, isto é,\r
\r
Dessa forma chega-se a
e
. Tomando
, obtemos o autovetor\r
Passo 5
Para
, resolvemos
, isto é,\r
\r
que leva à condição
. Assim o espaço próprio tem dimensão 2 e vetor geral\r
Escolhendo
e
, obtemos dois autovetores independentes:\r
Passo 6
Reunindo tudo, em relação à base\r
\r
a matriz de
T torna-se diagonal, com entradas iguais aos autovalores na mesma ordem.
Resposta
Em relação à base \r
(2,1,2),,(1,-2,0),,(1,0,-1) \r
a matriz deT é \r
a matriz de