Encontre os autovalores e autovetores associados às seguntes transformações lineares:
[T]=[ccc1 & -1 & 4 3 & 2 & -1 2 & 1 & -1],

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear representada pela matriz
A = 1 & -1 & 4 3 & 2 & -1 2 & 1 & -1
O conteúdo envolve cálculo do polinômio característico det(A - lambda I) = 0 e, em seguida, resolução de (A - lambda I)x = 0 para cada autovalor lambda.

Passo 2

Calculamos o determinante
det(A - lambda I) = det 1-lambda & -1 & 4 3 & 2-lambda & -1 2 & 1 & -1-lambda
Desenvolvendo por Laplace e simplificando, obtemos
det(A - lambda I) = -lambda^3 + 2lambda^2 + 5lambda - 6
Multiplicando por -1, fica
p(lambda)=lambda^3 - 2lambda^2 - 5lambda + 6

Passo 3

Para achar as raízes de p(lambda), testamos divisores de 6. Vemos que lambda=1 é raiz pois
p(1)=1 - 2 -5 +6=0
Fazendo a divisão sintética de p(lambda) por lambda-1 obtemos o quociente
lambda^2 - lambda -6 = 0,
cuja resolução dá
lambda = 1 pm raiz1 +242 = 1 pm 52,
isto é, lambda=3 e lambda=-2.
Portanto, os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = -2

Passo 4

Para , resolvemos , isto é,
Da primeira equação vem .
Da segunda, .
Tomando , um autovetor associado é

Passo 5

Para , resolvemos , isto é,
Da primeira equação .
Da segunda .
Tomando , um autovetor é

Passo 6

Para , resolvemos , isto é,
Da primeira equação .
Da terceira .
Tomando , um autovetor é

Resposta

Autovalores e autovetores (não normalizados):
lambda1=1, v1 =(-1,4,1)^T
lambda2=3, v2 =(1,2,1)^T
lambda3=-2, v3 =(-1,1,1)^T

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