Para o diamante, o valor experimental da capacidade térmica a volume constante é 2.68 J /(mol K) a 207 K . Compare com os valores previstos pelos modelos de:
a) Einstein.
b) Debye.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a capacidade térmica a volume constante, CV, do diamante a T=207 K predita pelos modelos de Einstein e Debye, e comparar com o valor experimental CV^(exp)=2,68 J/(molcdot K). Vamos usar as temperaturas características típicas do diamante: ThetaEapprox1860 K e ThetaDapprox1860 K, e lembrar que R=8,314 J/(molcdot K).

Passo 2

No modelo de Einstein temos a expressão
CV^(Einstein) = 3R;(ThetaE/T)^2,e^ThetaE/Tl(e^ThetaE/T-1r)^2
Substituímos ThetaE=1860 K e T=207 K, de modo que
ThetaET = 1860207approx9

Passo 3

Calculando o termo exponencial, e^9approx8,1times10^3, temos
CV^(Einstein) =3times8,314;9^2,e^9(e^9-1)^2 approx24,942;81times8,1times10^3(8,1times10^3)^2 approx0,25 J/(molcdot K)

Passo 4

No modelo de Debye a expressão geral é
CV^(Debye) =9Rl(TThetaDr)^3 integral0^ThetaD/T x^4e^x(e^x-1)^2,dx
Para TllThetaD podemos usar a aproximação de baixo T,
CV^(Debye)approx 12pi^45,Rl(TThetaDr)^3

Passo 5

Com ThetaD=1860 K e T=207 K temos TThetaDapprox0,1113. Usando
12pi^45approx233,8,
CV^(Debye) approx233,8times8,314times(0,1113)^3 approx2,68 J/(molcdot K)

Passo 6

Comparando os resultados:
  • Einstein: CV^(Einstein)approx0,25 J/(molcdot K), muito abaixo do experimental.
  • Debye: CV^(Debye)approx2,68 J/(molcdot K), em excelente acordo com CV^(exp)=2,68 J/(molcdot K).

Resposta

Einstein: CVapprox0,25 J/(molcdot K).
Debye: CVapprox2,68 J/(molcdot K).

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