O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória de função densidade de probabilidade (fdp)
f(x)=l 6 x(1-x), se x in[0,1] 0, caso contrário á
Encontre a função de distribuição acumulada de X, isto é, encontre a expressão de F(t)=P(X <= t), para t real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função de distribuição acumulada (FDC) de uma variável aleatória $ X $ que representa o diâmetro de um cabo elétrico. A função densidade de probabilidade (fdp) de $ X $ é dada por:
X á
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de distribuição acumulada e como calculá-la a partir da fdp.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada (FDC), denotada por $ F(t) $, representa a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um valor $ t $, ou seja:
F(t)
Para encontrar $ F(t) $, precisamos integrar a fdp $ f(x) $ de $ -\infty $ até $ t $:
X

Passo 3

Agora, vamos considerar os diferentes casos para $ t $:
  1. Se $ t < 0 $: Como a fdp é zero para $ x < 0 $, temos:
t
  1. Se $ 0 \leq t \leq 1 $: Aqui, integramos $ f(x) = 6x(1 - x) $ de 0 até $ t $:
t < 0
  1. Se $ t > 1 $: A fdp é zero para $ x > 1 $, então toda a probabilidade acumulada até $ x = 1 $ é 1:
x < 0

Passo 4

Vamos resolver a integral para o caso onde $ 0 \leq t \leq 1 $:
0 <= t <= 1
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
F(t) = integral0^t 6x(1 - x) , dx
Então, a integral fica:
6x(1 - x) = 6x - 6x^2
Integrando termo a termo:
F(t) = integral0^t (6x - 6x^2) , dx
Calculando as integrais:
F(t) = 6 integral0^t x , dx - 6 integral0^t x^2 , dx
Substituindo de volta:
integral x , dx = x^22 integral x^2 , dx = x^33

Passo 5

Agora, juntando todos os casos, a função de distribuição acumulada $ F(t) $ fica:
F(t)

Resposta

A função de distribuição acumulada de $ X $ é:
X

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