O diâmetro
de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória de função densidade de probabilidade (fdp)
Encontre a função de distribuição acumulada de
, isto é, encontre a expressão de
, para
real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função de distribuição acumulada (FDC) de uma variável aleatória $ X $ que representa o diâmetro de um cabo elétrico. A função densidade de probabilidade (fdp) de $ X $ é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de distribuição acumulada e como calculá-la a partir da fdp.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada (FDC), denotada por $ F(t) $, representa a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um valor $ t $, ou seja:
Para encontrar $ F(t) $, precisamos integrar a fdp $ f(x) $ de $ -\infty $ até $ t $:
Passo 3
Agora, vamos considerar os diferentes casos para $ t $:
- Se $ t < 0 $: Como a fdp é zero para $ x < 0 $, temos:
- Se $ 0 \leq t \leq 1 $: Aqui, integramos $ f(x) = 6x(1 - x) $ de 0 até $ t $:
- Se $ t > 1 $: A fdp é zero para $ x > 1 $, então toda a probabilidade acumulada até $ x = 1 $ é 1:
Passo 4
Vamos resolver a integral para o caso onde $ 0 \leq t \leq 1 $:
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, juntando todos os casos, a função de distribuição acumulada $ F(t) $ fica:
Resposta
A função de distribuição acumulada de $ X $ é: