Dois dados honestos são jogados simultaneamente.
  • Qual a probabilidade condicionada de que o primeiro dado caia no 6 dado que a soma é 8?
  • Qual a probabilidade condicionada de que a soma seja 8 dado que o primeiro dado caiu no 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois dados justos sendo lançados ao mesmo tempo. Temos duas perguntas:
  1. Qual a probabilidade de o primeiro dado mostrar 6 sabendo que a soma dos dois dados é 8?
  2. Qual a probabilidade de a soma ser 8 sabendo que o primeiro dado mostrou 6?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade condicional, que é a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já aconteceu. A gente vai usar a fórmula de probabilidade condicional para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da probabilidade condicional:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
Aqui, $ P(A|B) $ é a probabilidade do evento A acontecer, dado que o evento B já ocorreu.

Passo 3

Primeira pergunta: Qual a probabilidade de o primeiro dado cair no 6 dado que a soma é 8?
Vamos definir:
  • Evento A: O primeiro dado cai no 6.
  • Evento B: A soma dos dois dados é 8.
Então, queremos calcular $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $.
Vamos encontrar $ P(B) $ e $ P(A \cap B) $.

Passo 4

Calculando $ P(B) $: Probabilidade de a soma ser 8.
Há 36 combinações possíveis quando lançamos dois dados (6 faces no primeiro dado multiplicadas por 6 faces no segundo).
As combinações que resultam em soma 8 são:
  • (2,6)
  • (3,5)
  • (4,4)
  • (5,3)
  • (6,2)
São 5 combinações.
Então,
P(B)

Passo 5

Calculando $ P(A \cap B) $: Probabilidade de o primeiro dado ser 6 e a soma ser 8.
Das combinações que dão soma 8, apenas uma tem o primeiro dado igual a 6: (6,2).
Então,
P(A cap B)

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula:
P(A|B) = P(A cap B)P(B) = 136536 = 15 = 0,2 , ou , 20%

Passo 7

Segunda pergunta: Qual a probabilidade de a soma ser 8 dado que o primeiro dado caiu no 6?
Agora, definimos:
  • Evento C: A soma dos dois dados é 8.
  • Evento D: O primeiro dado cai no 6.
Queremos calcular $ P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} $.
Vamos achar $ P(D) $ e $ P(C \cap D) $.

Passo 8

Calculando $ P(D) $: Probabilidade de o primeiro dado cair no 6.
Como o dado é justo, cada face tem probabilidade $ \frac{1}{6} $.
Então,
P(D)

Passo 9

Calculando $ P(C \cap D) $: Probabilidade de a soma ser 8 e o primeiro dado ser 6.
Já vimos que apenas a combinação (6,2) atende a isso.
Então,
P(C cap D)

Passo 10

Aplicando a fórmula:
P(C|D) = P(C cap D)P(D) = 13616 = 16 approx 0,1667 , ou , 16,67%

Resposta

  • A probabilidade condicionada de que o primeiro dado caia no 6 dado que a soma é 8 é 20%.
  • A probabilidade condicionada de que a soma seja 8 dado que o primeiro dado caiu no 6 é aproximadamente 16,67%.

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