Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em duas máquinas. A máquina 1, mais antiga, é responsável por
da produção e os
restantes vêm da máquina 2 . A partir dos dados passados e das informações do fabricante das máquinas, estimase em
a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina 1 e em
a proporção de defeituosas produzidas pela máquina 2 . As peças produzidas pelas duas máquinas seguem para o departamento de armazenamento e embalagem, para venda posterior, sem distinção de qual máquina a produziu.
Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina 2 ?
Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina 2 ?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos duas máquinas, a Máquina 1 e a Máquina 2, que produzem peças em uma fábrica. Sabemos a porcentagem da produção de cada máquina e a taxa de defeitos de cada uma. O assunto principal aqui é probabilidade condicional, onde queremos descobrir a chance de uma peça defeituosa ter sido produzida pela Máquina 2. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as informações que foram dadas:
-
Proporção de produção:
- Máquina 1: 35% da produção.
- Máquina 2: 65% da produção.
-
Taxa de defeito:
- Máquina 1: 5% das peças são defeituosas.
- Máquina 2: 2,5% das peças são defeituosas.
Vamos chamar:
- $ M1 $ de uma peça ser produzida pela Máquina 1.
- $ M2 $ de uma peça ser produzida pela Máquina 2.
- $ D $ de uma peça ser defeituosa.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido produzida pela Máquina 2, ou seja, $ P(M2 \mid D) $.
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos permite calcular a probabilidade condicional. O teorema é dado por:
Onde:
- $ P(D \mid M2) $ é a probabilidade da peça ser defeituosa dado que foi produzida pela Máquina 2.
- $ P(M2) $ é a probabilidade da peça ser produzida pela Máquina 2.
- $ P(D) $ é a probabilidade da peça ser defeituosa, independentemente da máquina.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.
- Probabilidade da peça ser defeituosa e ter sido produzida pela Máquina 2, $ P(D \mid M2) \cdot P(M2) $:
- Probabilidade total de uma peça ser defeituosa, $ P(D) $:
A peça pode ser defeituosa tendo sido produzida pela Máquina 1 ou pela Máquina 2. Então:
Onde:
Calculando:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido produzida pela Máquina 2 é de aproximadamente 48,15%.