Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em duas máquinas. A máquina 1, mais antiga, é responsável por 35 % da produção e os 65 % restantes vêm da máquina 2 . A partir dos dados passados e das informações do fabricante das máquinas, estimase em 5 % a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina 1 e em 2,5 % a proporção de defeituosas produzidas pela máquina 2 . As peças produzidas pelas duas máquinas seguem para o departamento de armazenamento e embalagem, para venda posterior, sem distinção de qual máquina a produziu.
Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina 2 ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos duas máquinas, a Máquina 1 e a Máquina 2, que produzem peças em uma fábrica. Sabemos a porcentagem da produção de cada máquina e a taxa de defeitos de cada uma. O assunto principal aqui é probabilidade condicional, onde queremos descobrir a chance de uma peça defeituosa ter sido produzida pela Máquina 2. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que foram dadas:
  • Proporção de produção:
    • Máquina 1: 35% da produção.
    • Máquina 2: 65% da produção.
  • Taxa de defeito:
    • Máquina 1: 5% das peças são defeituosas.
    • Máquina 2: 2,5% das peças são defeituosas.
Vamos chamar:
  • $ M1 $ de uma peça ser produzida pela Máquina 1.
  • $ M2 $ de uma peça ser produzida pela Máquina 2.
  • $ D $ de uma peça ser defeituosa.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido produzida pela Máquina 2, ou seja, $ P(M2 \mid D) $.
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos permite calcular a probabilidade condicional. O teorema é dado por:
P(M2 mid D)
Onde:
  • $ P(D \mid M2) $ é a probabilidade da peça ser defeituosa dado que foi produzida pela Máquina 2.
  • $ P(M2) $ é a probabilidade da peça ser produzida pela Máquina 2.
  • $ P(D) $ é a probabilidade da peça ser defeituosa, independentemente da máquina.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.
  1. Probabilidade da peça ser defeituosa e ter sido produzida pela Máquina 2, $ P(D \mid M2) \cdot P(M2) $:
P(D mid M2) cdot P(M2)
P(D mid M2) = 2,5% = 0,025
P(M2) = 65% = 0,65
  1. Probabilidade total de uma peça ser defeituosa, $ P(D) $:
A peça pode ser defeituosa tendo sido produzida pela Máquina 1 ou pela Máquina 2. Então:
P(D mid M2) cdot P(M2) = 0,025 times 0,65 = 0,01625
Onde:
P(D)
P(D) = P(D mid M1) cdot P(M1) + P(D mid M2) cdot P(M2)
P(D mid M1) = 5% = 0,05
P(M1) = 35% = 0,35
Calculando:
P(D mid M2) = 2,5% = 0,025

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
P(M2 mid D) = 0,016250,03375 approx 0,4815

Resposta

A probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido produzida pela Máquina 2 é de aproximadamente 48,15%.

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